Theorem abvpropd 18842

Description: If two structures have the same ring components, they have the same collection of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
abvpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
abvpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
abvpropd.4	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
abvpropd	|- ( ph -> (AbsVal ` K ) = (AbsVal ` L ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   x, L, y   ph, x, y

Proof of Theorem abvpropd

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvpropd.1	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
2		abvpropd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
3		abvpropd.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
4		abvpropd.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 18582	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. Ring <-> L e. Ring ) )
6	1, 2	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
7	6	feq2d 6031	. . . . 5 |- ( ph -> ( f : ( Base ` K ) --> ( 0 [,) +oo ) <-> f : ( Base ` L ) --> ( 0 [,) +oo ) ) )
8	1, 2, 3	grpidpropd 17261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` L ) )
10	9	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x = ( 0g ` K ) <-> x = ( 0g ` L ) ) )
11	10	bibi2d 332	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` K ) ) <-> ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` L ) ) ) )
12	4	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) )
13	12	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) ) )
14	3	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) = ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) )
15	14	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) )
16	13, 15	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) <-> ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) )
17	16	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) <-> ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) )
18	17	ralbidva 2985	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) <-> A. y e. B ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) )
19	11, 18	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` K ) ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` L ) ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) )
20	19	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` K ) ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) <-> A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` L ) ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) )
21	1	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) <-> A. y e. ( Base ` K ) ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) )
22	21	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` K ) ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` K ) ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) )
23	1, 22	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` K ) ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` K ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` K ) ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) )
24	2	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. y e. B ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) <-> A. y e. ( Base ` L ) ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) )
25	24	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` L ) ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` L ) ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) )
26	2, 25	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. B ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` L ) ) /\ A. y e. B ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` L ) ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) )
27	20, 23, 26	3bitr3d 298	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. ( Base ` K ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` K ) ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` L ) ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) )
28	7, 27	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ph -> ( ( f : ( Base ` K ) --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. ( Base ` K ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` K ) ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) <-> ( f : ( Base ` L ) --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. ( Base ` L ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` L ) ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) ) )
29	5, 28	anbi12d 747	. . 3 |- ( ph -> ( ( K e. Ring /\ ( f : ( Base ` K ) --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. ( Base ` K ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` K ) ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) ) <-> ( L e. Ring /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. ( Base ` L ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` L ) ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) ) ) )
30		eqid 2622	. . . . 5 |- (AbsVal ` K ) = (AbsVal ` K )
31	30	abvrcl 18821	. . . 4 |- ( f e. (AbsVal ` K ) -> K e. Ring )
32		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
33		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
34		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .r ` K ) = ( .r ` K )
35		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` K ) = ( 0g ` K )
36	30, 32, 33, 34, 35	isabv 18819	. . . 4 |- ( K e. Ring -> ( f e. (AbsVal ` K ) <-> ( f : ( Base ` K ) --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. ( Base ` K ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` K ) ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) ) )
37	31, 36	biadan2 674	. . 3 |- ( f e. (AbsVal ` K ) <-> ( K e. Ring /\ ( f : ( Base ` K ) --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. ( Base ` K ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` K ) ) /\ A. y e. ( Base ` K ) ( ( f ` ( x ( .r ` K ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` K ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) ) )
38		eqid 2622	. . . . 5 |- (AbsVal ` L ) = (AbsVal ` L )
39	38	abvrcl 18821	. . . 4 |- ( f e. (AbsVal ` L ) -> L e. Ring )
40		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
41		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
42		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .r ` L ) = ( .r ` L )
43		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` L ) = ( 0g ` L )
44	38, 40, 41, 42, 43	isabv 18819	. . . 4 |- ( L e. Ring -> ( f e. (AbsVal ` L ) <-> ( f : ( Base ` L ) --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. ( Base ` L ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` L ) ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) ) )
45	39, 44	biadan2 674	. . 3 |- ( f e. (AbsVal ` L ) <-> ( L e. Ring /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. ( Base ` L ) ( ( ( f ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` L ) ) /\ A. y e. ( Base ` L ) ( ( f ` ( x ( .r ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) x. ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) <_ ( ( f ` x ) + ( f ` y ) ) ) ) ) ) )
46	29, 37, 45	3bitr4g 303	. 2 |- ( ph -> ( f e. (AbsVal ` K ) <-> f e. (AbsVal ` L ) ) )
47	46	eqrdv 2620	1 |- ( ph -> (AbsVal ` K ) = (AbsVal ` L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,)cico 12177   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Ringcrg 18547  AbsValcabv 18816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-abv 18817

This theorem is referenced by:  tngnrg  22478  abvpropd2  29652