Theorem abvneg 18834

Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	|- A = (AbsVal ` R )
abvneg.b	|- B = ( Base ` R )
abvneg.p	|- N = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
abvneg	|- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> ( F ` ( N ` X ) ) = ( F ` X ) )

Proof of Theorem abvneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abv0.a	. . . . . . 7 |- A = (AbsVal ` R )
2	1	abvrcl 18821	. . . . . 6 |- ( F e. A -> R e. Ring )
3	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> R e. Ring )
4		ringgrp 18552	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( F e. A -> R e. Grp )
6		abvneg.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
7		abvneg.p	. . . . . . 7 |- N = ( invg ` R )
8	6, 7	grpinvcl 17467	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
9	5, 8	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
10		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> X e. B )
11		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
13	6, 11, 12	ring1eq0 18590	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( N ` X ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( N ` X ) = X ) )
14	3, 9, 10, 13	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( N ` X ) = X ) )
15	14	imp 445	. . 3 |- ( ( ( F e. A /\ X e. B ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( N ` X ) = X )
16	15	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( ( F e. A /\ X e. B ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( N ` X ) ) = ( F ` X ) )
17	6, 11	ringidcl 18568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. A -> ( 1r ` R ) e. B )
19	6, 7	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Grp /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
20	5, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. A -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
21	1, 6	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. A /\ ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B ) -> ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) e. RR )
22	20, 21	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. A -> ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) e. RR )
23	22	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. A -> ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) e. CC )
24	23	sqvald 13005	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. A -> ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ^ 2 ) = ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) x. ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
25		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
26	1, 6, 25	abvmul 18829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. A /\ ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B /\ ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B ) -> ( F ` ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) = ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) x. ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
27	20, 20, 26	mpd3an23 1426	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. A -> ( F ` ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) = ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) x. ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
28	6, 25, 7, 2, 20, 18	ringmneg2 18597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. A -> ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( N ` ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) ) )
29	6, 25, 11, 7, 2, 18	ringnegl 18594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. A -> ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = ( N ` ( 1r ` R ) ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. A -> ( N ` ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) ) = ( N ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) )
31	6, 7	grpinvinv 17482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Grp /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( N ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( 1r ` R ) )
32	5, 18, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. A -> ( N ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( 1r ` R ) )
33	28, 30, 32	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. A -> ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = ( 1r ` R ) )
34	33	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. A -> ( F ` ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) = ( F ` ( 1r ` R ) ) )
35	24, 27, 34	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. A -> ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ^ 2 ) = ( F ` ( 1r ` R ) ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ^ 2 ) = ( F ` ( 1r ` R ) ) )
37	1, 11, 12	abv1z 18832	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( 1r ` R ) ) = 1 )
38	36, 37	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ^ 2 ) = 1 )
39		sq1 12958	. . . . . . . 8 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
40	38, 39	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
41	1, 6	abvge0 18825	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. A /\ ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B ) -> 0 <_ ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) )
42	20, 41	mpdan 702	. . . . . . . . 9 |- ( F e. A -> 0 <_ ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) )
43		1re 10039	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
44		0le1 10551	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
45		sq11 12936	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) ) -> ( ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = 1 ) )
46	43, 44, 45	mpanr12 721	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = 1 ) )
47	22, 42, 46	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( F e. A -> ( ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = 1 ) )
48	47	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) ) -> ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = 1 )
49	40, 48	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = 1 )
50	49	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( F e. A /\ X e. B ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) = 1 )
51	50	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( F e. A /\ X e. B ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) x. ( F ` X ) ) = ( 1 x. ( F ` X ) ) )
52		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> F e. A )
53	20	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
54	1, 6, 25	abvmul 18829	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B /\ X e. B ) -> ( F ` ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) ) = ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) x. ( F ` X ) ) )
55	52, 53, 10, 54	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> ( F ` ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) ) = ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) x. ( F ` X ) ) )
56	6, 25, 11, 7, 3, 10	ringnegl 18594	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( N ` X ) )
57	56	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> ( F ` ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) ) = ( F ` ( N ` X ) ) )
58	55, 57	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) x. ( F ` X ) ) = ( F ` ( N ` X ) ) )
59	58	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( F e. A /\ X e. B ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( ( F ` ( N ` ( 1r ` R ) ) ) x. ( F ` X ) ) = ( F ` ( N ` X ) ) )
60	51, 59	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ( ( F e. A /\ X e. B ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1 x. ( F ` X ) ) = ( F ` ( N ` X ) ) )
61	1, 6	abvcl 18824	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. RR )
62	61	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. CC )
63	62	mulid2d 10058	. . . 4 |- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> ( 1 x. ( F ` X ) ) = ( F ` X ) )
64	63	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( F e. A /\ X e. B ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1 x. ( F ` X ) ) = ( F ` X ) )
65	60, 64	eqtr3d 2658	. 2 |- ( ( ( F e. A /\ X e. B ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( N ` X ) ) = ( F ` X ) )
66	16, 65	pm2.61dane 2881	1 |- ( ( F e. A /\ X e. B ) -> ( F ` ( N ` X ) ) = ( F ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   2c2 11070   ^cexp 12860   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   1rcur 18501   Ringcrg 18547  AbsValcabv 18816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ico 12181  df-seq 12802  df-exp 12861  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-abv 18817

This theorem is referenced by:  abvsubtri  18835  ostthlem1  25316  ostth3  25327