Theorem isabvd 18820

Description: Properties that determine an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isabvd.a	|- ( ph -> A = (AbsVal ` R ) )
isabvd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
isabvd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
isabvd.t	|- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
isabvd.z	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` R ) )
isabvd.1	|- ( ph -> R e. Ring )
isabvd.2	|- ( ph -> F : B --> RR )
isabvd.3	|- ( ph -> ( F ` .0. ) = 0 )
isabvd.4	|- ( ( ph /\ x e. B /\ x =/= .0. ) -> 0 < ( F ` x ) )
isabvd.5	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ x =/= .0. ) /\ ( y e. B /\ y =/= .0. ) ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) )
isabvd.6	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ x =/= .0. ) /\ ( y e. B /\ y =/= .0. ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isabvd	|- ( ph -> F e. A )

Distinct variable groups:   x, y, F   ph, x, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   .+ ( x, y)   .x. ( x, y)   .0. ( x, y)

Proof of Theorem isabvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabvd.2	. . . . . 6 |- ( ph -> F : B --> RR )
2		isabvd.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
3	2	feq2d 6031	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : B --> RR <-> F : ( Base ` R ) --> RR ) )
4	1, 3	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( Base ` R ) --> RR )
5		ffn 6045	. . . . 5 |- ( F : ( Base ` R ) --> RR -> F Fn ( Base ` R ) )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> F Fn ( Base ` R ) )
7	4	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
8		0le0 11110	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 0
9		isabvd.z	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> .0. = ( 0g ` R ) )
10	9	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` .0. ) = ( F ` ( 0g ` R ) ) )
11		isabvd.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` .0. ) = 0 )
12	10, 11	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = 0 )
13	8, 12	syl5breqr 4691	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( F ` ( 0g ` R ) ) )
14	13	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> 0 <_ ( F ` ( 0g ` R ) ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 0g ` R ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( 0g ` R ) ) )
16	15	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 0g ` R ) -> ( 0 <_ ( F ` x ) <-> 0 <_ ( F ` ( 0g ` R ) ) ) )
17	14, 16	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x = ( 0g ` R ) -> 0 <_ ( F ` x ) ) )
18		simp1 1061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ x =/= ( 0g ` R ) ) -> ph )
19		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ x =/= ( 0g ` R ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
20	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ x =/= ( 0g ` R ) ) -> B = ( Base ` R ) )
21	19, 20	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ x =/= ( 0g ` R ) ) -> x e. B )
22		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ x =/= ( 0g ` R ) ) -> x =/= ( 0g ` R ) )
23	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ x =/= ( 0g ` R ) ) -> .0. = ( 0g ` R ) )
24	22, 23	neeqtrrd 2868	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ x =/= ( 0g ` R ) ) -> x =/= .0. )
25		isabvd.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B /\ x =/= .0. ) -> 0 < ( F ` x ) )
26	18, 21, 24, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ x =/= ( 0g ` R ) ) -> 0 < ( F ` x ) )
27		0re 10040	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
28	7	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ x =/= ( 0g ` R ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
29		ltle 10126	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( F ` x ) e. RR ) -> ( 0 < ( F ` x ) -> 0 <_ ( F ` x ) ) )
30	27, 28, 29	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ x =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 0 < ( F ` x ) -> 0 <_ ( F ` x ) ) )
31	26, 30	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ x =/= ( 0g ` R ) ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
32	31	3expia 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x =/= ( 0g ` R ) -> 0 <_ ( F ` x ) ) )
33	17, 32	pm2.61dne 2880	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
34		elrege0 12278	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
35	7, 33, 34	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
36	35	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` R ) ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
37		ffnfv 6388	. . . 4 |- ( F : ( Base ` R ) --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( F Fn ( Base ` R ) /\ A. x e. ( Base ` R ) ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) ) )
38	6, 36, 37	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> F : ( Base ` R ) --> ( 0 [,) +oo ) )
39	26	gt0ne0d 10592	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ x =/= ( 0g ` R ) ) -> ( F ` x ) =/= 0 )
40	39	3expia 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x =/= ( 0g ` R ) -> ( F ` x ) =/= 0 ) )
41	40	necon4d 2818	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( F ` x ) = 0 -> x = ( 0g ` R ) ) )
42	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = 0 )
43	15	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( x = ( 0g ` R ) -> ( ( F ` x ) = 0 <-> ( F ` ( 0g ` R ) ) = 0 ) )
44	42, 43	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x = ( 0g ` R ) -> ( F ` x ) = 0 ) )
45	41, 44	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( F ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` R ) ) )
46	12	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = 0 )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = 0 )
48		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 0g ` R ) -> ( x ( .r ` R ) y ) = ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) y ) )
49		isabvd.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. Ring )
50	49	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> R e. Ring )
51		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
53		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
55	52, 53, 54	ringlz 18587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) y ) = ( 0g ` R ) )
56	50, 51, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) y ) = ( 0g ` R ) )
57	48, 56	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) = ( 0g ` R ) )
58	57	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( F ` ( 0g ` R ) ) )
59	15, 46	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` x ) = 0 )
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) = ( 0 x. ( F ` y ) ) )
61	4	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> F : ( Base ` R ) --> RR )
62	61, 51	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
63	62	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( F ` y ) e. CC )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` y ) e. CC )
65	64	mul02d 10234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> ( 0 x. ( F ` y ) ) = 0 )
66	60, 65	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) = 0 )
67	47, 58, 66	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) )
68	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = 0 )
69		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( 0g ` R ) -> ( x ( .r ` R ) y ) = ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) )
70		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
71	52, 53, 54	ringrz 18588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
72	50, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
73	69, 72	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) = ( 0g ` R ) )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( F ` ( 0g ` R ) ) )
75		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( 0g ` R ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( 0g ` R ) ) )
76	75, 46	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` y ) = 0 )
77	76	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) = ( ( F ` x ) x. 0 ) )
78	61, 70	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
79	78	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
81	80	mul01d 10235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> ( ( F ` x ) x. 0 ) = 0 )
82	77, 81	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) = 0 )
83	68, 74, 82	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) )
84		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> ph )
85		isabvd.t	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> .x. = ( .r ` R ) )
87	86	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> ( x .x. y ) = ( x ( .r ` R ) y ) )
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) )
89		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
90	84, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> B = ( Base ` R ) )
91	89, 90	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> x e. B )
92		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> x =/= ( 0g ` R ) )
93	84, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> .0. = ( 0g ` R ) )
94	92, 93	neeqtrrd 2868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> x =/= .0. )
95		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
96	95, 90	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> y e. B )
97		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> y =/= ( 0g ` R ) )
98	97, 93	neeqtrrd 2868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> y =/= .0. )
99		isabvd.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ x =/= .0. ) /\ ( y e. B /\ y =/= .0. ) ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) )
100	84, 91, 94, 96, 98, 99	syl122anc 1335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) )
101	88, 100	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) )
102	67, 83, 101	pm2.61da2ne 2882	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) )
103		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 0g ` R ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) y ) )
104		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
105	50, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> R e. Grp )
106		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
107	52, 106, 54	grplid 17452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) y ) = y )
108	105, 51, 107	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) y ) = y )
109	103, 108	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = y )
110	109	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( F ` y ) )
111	8, 59	syl5breqr 4691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
112	62, 78	addge02d 10616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( 0 <_ ( F ` x ) <-> ( F ` y ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) )
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> ( 0 <_ ( F ` x ) <-> ( F ` y ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) )
114	111, 113	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` y ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
115	110, 114	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ x = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
116		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( 0g ` R ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = ( x ( +g ` R ) ( 0g ` R ) ) )
117	52, 106, 54	grprid 17453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Grp /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( +g ` R ) ( 0g ` R ) ) = x )
118	105, 70, 117	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( +g ` R ) ( 0g ` R ) ) = x )
119	116, 118	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = x )
120	119	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( F ` x ) )
121	8, 76	syl5breqr 4691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> 0 <_ ( F ` y ) )
122	78, 62	addge01d 10615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( 0 <_ ( F ` y ) <-> ( F ` x ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) )
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> ( 0 <_ ( F ` y ) <-> ( F ` x ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) )
124	121, 123	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` x ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
125	120, 124	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ y = ( 0g ` R ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
126		isabvd.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
127	84, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> .+ = ( +g ` R ) )
128	127	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` R ) y ) )
129	128	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) )
130		isabvd.6	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ x =/= .0. ) /\ ( y e. B /\ y =/= .0. ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
131	84, 91, 94, 96, 98, 130	syl122anc 1335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
132	129, 131	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x =/= ( 0g ` R ) /\ y =/= ( 0g ` R ) ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
133	115, 125, 132	pm2.61da2ne 2882	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
134	102, 133	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) )
135	134	3expia 1267	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( y e. ( Base ` R ) -> ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) )
136	135	ralrimiv 2965	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> A. y e. ( Base ` R ) ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) )
137	45, 136	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` R ) ) /\ A. y e. ( Base ` R ) ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) )
138	137	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` R ) ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` R ) ) /\ A. y e. ( Base ` R ) ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) )
139		eqid 2622	. . . . 5 |- (AbsVal ` R ) = (AbsVal ` R )
140	139, 52, 106, 53, 54	isabv 18819	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( F e. (AbsVal ` R ) <-> ( F : ( Base ` R ) --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. ( Base ` R ) ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` R ) ) /\ A. y e. ( Base ` R ) ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) ) ) )
141	49, 140	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( F e. (AbsVal ` R ) <-> ( F : ( Base ` R ) --> ( 0 [,) +oo ) /\ A. x e. ( Base ` R ) ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` R ) ) /\ A. y e. ( Base ` R ) ( ( F ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) x. ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) ) ) ) )
142	38, 138, 141	mpbir2and 957	. 2 |- ( ph -> F e. (AbsVal ` R ) )
143		isabvd.a	. 2 |- ( ph -> A = (AbsVal ` R ) )
144	142, 143	eleqtrrd 2704	1 |- ( ph -> F e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   Ringcrg 18547  AbsValcabv 18816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ico 12181  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-abv 18817

This theorem is referenced by:  abvres  18839  abvtrivd  18840  absabv  19803  abvcxp  25304  padicabv  25319