Theorem acni3 8870

Description: The property of being a choice set of length A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acni3.1	|- ( y = ( g ` x ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
acni3	|- ( ( X e. AC A /\ A. x e. A E. y e. X ph ) -> E. g ( g : A --> X /\ A. x e. A ps ) )

Distinct variable groups:   x, g, y, A   ph, g   ps, y   g, X, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, g)

Proof of Theorem acni3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabn0 3958	. . . . . 6 |- ( { y e. X | ph } =/= (/) <-> E. y e. X ph )
2	1	biimpri 218	. . . . 5 |- ( E. y e. X ph -> { y e. X | ph } =/= (/) )
3		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { y e. X | ph } C_ X
4	2, 3	jctil 560	. . . 4 |- ( E. y e. X ph -> ( { y e. X | ph } C_ X /\ { y e. X | ph } =/= (/) ) )
5	4	ralimi 2952	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. X ph -> A. x e. A ( { y e. X | ph } C_ X /\ { y e. X | ph } =/= (/) ) )
6		acni2 8869	. . 3 |- ( ( X e. AC A /\ A. x e. A ( { y e. X | ph } C_ X /\ { y e. X | ph } =/= (/) ) ) -> E. g ( g : A --> X /\ A. x e. A ( g ` x ) e. { y e. X | ph } ) )
7	5, 6	sylan2 491	. 2 |- ( ( X e. AC A /\ A. x e. A E. y e. X ph ) -> E. g ( g : A --> X /\ A. x e. A ( g ` x ) e. { y e. X | ph } ) )
8		acni3.1	. . . . . . 7 |- ( y = ( g ` x ) -> ( ph <-> ps ) )
9	8	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( ( g ` x ) e. { y e. X | ph } <-> ( ( g ` x ) e. X /\ ps ) )
10	9	simprbi 480	. . . . 5 |- ( ( g ` x ) e. { y e. X | ph } -> ps )
11	10	ralimi 2952	. . . 4 |- ( A. x e. A ( g ` x ) e. { y e. X | ph } -> A. x e. A ps )
12	11	anim2i 593	. . 3 |- ( ( g : A --> X /\ A. x e. A ( g ` x ) e. { y e. X | ph } ) -> ( g : A --> X /\ A. x e. A ps ) )
13	12	eximi 1762	. 2 |- ( E. g ( g : A --> X /\ A. x e. A ( g ` x ) e. { y e. X | ph } ) -> E. g ( g : A --> X /\ A. x e. A ps ) )
14	7, 13	syl 17	1 |- ( ( X e. AC A /\ A. x e. A E. y e. X ph ) -> E. g ( g : A --> X /\ A. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   -->wf 5884   ` cfv 5888  AC wacn 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  fodomacn  8879  iundom2g  9362  ptclsg  21418