Theorem acnlem 8871

Description: Construct a mapping satisfying the consequent of isacn 8867. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnlem	|- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. ( f ` x ) ) -> E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, A   B, g

Allowed substitution hints:   B( x, f)   V( x, f, g)

Proof of Theorem acnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvssunirn 6217	. . . . . 6 |- ( f ` x ) C_ U. ran f
2		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ B e. ( f ` x ) ) -> B e. ( f ` x ) )
3	1, 2	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ B e. ( f ` x ) ) -> B e. U. ran f )
4	3	ralimiaa 2951	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. ( f ` x ) -> A. x e. A B e. U. ran f )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
6	5	fmpt 6381	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. U. ran f <-> ( x e. A |-> B ) : A --> U. ran f )
7	4, 6	sylib 208	. . 3 |- ( A. x e. A B e. ( f ` x ) -> ( x e. A |-> B ) : A --> U. ran f )
8		id 22	. . 3 |- ( A e. V -> A e. V )
9		vex 3203	. . . . . 6 |- f e. _V
10	9	rnex 7100	. . . . 5 |- ran f e. _V
11	10	uniex 6953	. . . 4 |- U. ran f e. _V
12		fex2 7121	. . . 4 |- ( ( ( x e. A |-> B ) : A --> U. ran f /\ A e. V /\ U. ran f e. _V ) -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
13	11, 12	mp3an3 1413	. . 3 |- ( ( ( x e. A |-> B ) : A --> U. ran f /\ A e. V ) -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
14	7, 8, 13	syl2anr 495	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. ( f ` x ) ) -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
15	5	fvmpt2 6291	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ B e. ( f ` x ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
16	15, 2	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ B e. ( f ` x ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( f ` x ) )
17	16	ralimiaa 2951	. . 3 |- ( A. x e. A B e. ( f ` x ) -> A. x e. A ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( f ` x ) )
18	17	adantl 482	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. ( f ` x ) ) -> A. x e. A ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( f ` x ) )
19		nfmpt1 4747	. . . . 5 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
20	19	nfeq2 2780	. . . 4 |- F/ x g = ( x e. A |-> B )
21		fveq1 6190	. . . . 5 |- ( g = ( x e. A |-> B ) -> ( g ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
22	21	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( g = ( x e. A |-> B ) -> ( ( g ` x ) e. ( f ` x ) <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( f ` x ) ) )
23	20, 22	ralbid 2983	. . 3 |- ( g = ( x e. A |-> B ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) <-> A. x e. A ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( f ` x ) ) )
24	23	spcegv 3294	. 2 |- ( ( x e. A |-> B ) e. _V -> ( A. x e. A ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( f ` x ) -> E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
25	14, 18, 24	sylc 65	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. ( f ` x ) ) -> E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  numacn  8872  acndom  8874  acndom2  8877