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Theorem ajval 27717
Description: Value of the adjoint function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ajval.1 |- X = ( BaseSet ` U )
ajval.2 |- Y = ( BaseSet ` W )
ajval.3 |- P = ( .iOLD ` U )
ajval.4 |- Q = ( .iOLD ` W )
ajval.5 |- A = ( U adj W )
Assertion
Ref Expression
ajval |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( A ` T ) = ( iota s ( s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, s, y, T   U, s, x, y   W, s, x, y   X, s, x, y   Y, s, y
Allowed substitution hints:   A( x, y, s)   P( x, y, s)   Q( x, y, s)   Y( x)
Proof of Theorem ajval
Dummy variable t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phnv 27669 . . . . 5 |- ( U e. CPreHil OLD -> U e. NrmCVec )
2 ajval.1 . . . . . 6 |- X = ( BaseSet ` U )
3 ajval.2 . . . . . 6 |- Y = ( BaseSet ` W )
4 ajval.3 . . . . . 6 |- P = ( .iOLD ` U )
5 ajval.4 . . . . . 6 |- Q = ( .iOLD ` W )
6 ajval.5 . . . . . 6 |- A = ( U adj W )
72, 3, 4, 5, 6ajfval 27664 . . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> A = { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } )
81, 7sylan 488 . . . 4 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ W e. NrmCVec ) -> A = { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } )
98fveq1d 6193 . . 3 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ W e. NrmCVec ) -> ( A ` T ) = ( { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } ` T ) )
1093adant3 1081 . 2 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( A ` T ) = ( { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } ` T ) )
11 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( BaseSet ` U ) e. _V
122, 11eqeltri 2697 . . . . . 6 |- X e. _V
13 fex 6490 . . . . . 6 |- ( ( T : X --> Y /\ X e. _V ) -> T e. _V )
1412, 13mpan2 707 . . . . 5 |- ( T : X --> Y -> T e. _V )
15 eqid 2622 . . . . . 6 |- { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } = { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) }
16 feq1 6026 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( t : X --> Y <-> T : X --> Y ) )
17 fveq1 6190 . . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( t ` x ) = ( T ` x ) )
1817oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( ( t ` x ) Q y ) = ( ( T ` x ) Q y ) )
1918eqeq1d 2624 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) <-> ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) )
20192ralbidv 2989 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) <-> A. x e. X A. y e. Y ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) )
2116, 203anbi13d 1401 . . . . . 6 |- ( t = T -> ( ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) <-> ( T : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) ) )
2215, 21fvopab5 6309 . . . . 5 |- ( T e. _V -> ( { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } ` T ) = ( iota s ( T : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) ) )
2314, 22syl 17 . . . 4 |- ( T : X --> Y -> ( { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } ` T ) = ( iota s ( T : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) ) )
24 3anass 1042 . . . . . 6 |- ( ( T : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) <-> ( T : X --> Y /\ ( s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) ) )
2524baib 944 . . . . 5 |- ( T : X --> Y -> ( ( T : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) <-> ( s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) ) )
2625iotabidv 5872 . . . 4 |- ( T : X --> Y -> ( iota s ( T : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) ) = ( iota s ( s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) ) )
2723, 26eqtrd 2656 . . 3 |- ( T : X --> Y -> ( { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } ` T ) = ( iota s ( s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) ) )
28273ad2ant3 1084 . 2 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } ` T ) = ( iota s ( s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) ) )
2910, 28eqtrd 2656 1 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ W e. NrmCVec /\ T : X --> Y ) -> ( A ` T ) = ( iota s ( s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( T ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {copab 4712   iotacio 5849   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   .iOLDcdip 27555   adjcaj 27603   CPreHil OLDccphlo 27667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-aj 27605  df-ph 27668
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