Theorem ajfval 27664

Description: The adjoint function. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ajfval.1	|- X = ( BaseSet ` U )
ajfval.2	|- Y = ( BaseSet ` W )
ajfval.3	|- P = ( .iOLD ` U )
ajfval.4	|- Q = ( .iOLD ` W )
ajfval.5	|- A = ( U adj W )

Assertion

Ref	Expression
ajfval	|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> A = { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } )

Distinct variable groups:   t, s, x, y, U   W, s, t, x, y   X, s, t, x   Y, s, t, y

Allowed substitution hints:   A( x, y, t, s)   P( x, y, t, s)   Q( x, y, t, s)   X( y)   Y( x)

Proof of Theorem ajfval

Dummy variables w u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ajfval.5	. 2 |- A = ( U adj W )
2		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( BaseSet ` u ) = ( BaseSet ` U ) )
3		ajfval.1	. . . . . . 7 |- X = ( BaseSet ` U )
4	2, 3	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( BaseSet ` u ) = X )
5	4	feq2d 6031	. . . . 5 |- ( u = U -> ( t : ( BaseSet ` u ) --> ( BaseSet ` w ) <-> t : X --> ( BaseSet ` w ) ) )
6	4	feq3d 6032	. . . . 5 |- ( u = U -> ( s : ( BaseSet ` w ) --> ( BaseSet ` u ) <-> s : ( BaseSet ` w ) --> X ) )
7		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( u = U -> ( .iOLD ` u ) = ( .iOLD ` U ) )
8		ajfval.3	. . . . . . . . . 10 |- P = ( .iOLD ` U )
9	7, 8	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( u = U -> ( .iOLD ` u ) = P )
10	9	oveqd 6667	. . . . . . . 8 |- ( u = U -> ( x ( .iOLD ` u ) ( s ` y ) ) = ( x P ( s ` y ) ) )
11	10	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x ( .iOLD ` u ) ( s ` y ) ) <-> ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) )
12	11	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( A. y e. ( BaseSet ` w ) ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x ( .iOLD ` u ) ( s ` y ) ) <-> A. y e. ( BaseSet ` w ) ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) )
13	4, 12	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( u = U -> ( A. x e. ( BaseSet ` u ) A. y e. ( BaseSet ` w ) ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x ( .iOLD ` u ) ( s ` y ) ) <-> A. x e. X A. y e. ( BaseSet ` w ) ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) )
14	5, 6, 13	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( u = U -> ( ( t : ( BaseSet ` u ) --> ( BaseSet ` w ) /\ s : ( BaseSet ` w ) --> ( BaseSet ` u ) /\ A. x e. ( BaseSet ` u ) A. y e. ( BaseSet ` w ) ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x ( .iOLD ` u ) ( s ` y ) ) ) <-> ( t : X --> ( BaseSet ` w ) /\ s : ( BaseSet ` w ) --> X /\ A. x e. X A. y e. ( BaseSet ` w ) ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) ) )
15	14	opabbidv 4716	. . 3 |- ( u = U -> { <. t , s >. | ( t : ( BaseSet ` u ) --> ( BaseSet ` w ) /\ s : ( BaseSet ` w ) --> ( BaseSet ` u ) /\ A. x e. ( BaseSet ` u ) A. y e. ( BaseSet ` w ) ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x ( .iOLD ` u ) ( s ` y ) ) ) } = { <. t , s >. | ( t : X --> ( BaseSet ` w ) /\ s : ( BaseSet ` w ) --> X /\ A. x e. X A. y e. ( BaseSet ` w ) ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } )
16		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( BaseSet ` w ) = ( BaseSet ` W ) )
17		ajfval.2	. . . . . . 7 |- Y = ( BaseSet ` W )
18	16, 17	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( BaseSet ` w ) = Y )
19	18	feq3d 6032	. . . . 5 |- ( w = W -> ( t : X --> ( BaseSet ` w ) <-> t : X --> Y ) )
20	18	feq2d 6031	. . . . 5 |- ( w = W -> ( s : ( BaseSet ` w ) --> X <-> s : Y --> X ) )
21		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> ( .iOLD ` w ) = ( .iOLD ` W ) )
22		ajfval.4	. . . . . . . . . 10 |- Q = ( .iOLD ` W )
23	21, 22	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( .iOLD ` w ) = Q )
24	23	oveqd 6667	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( ( t ` x ) Q y ) )
25	24	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x P ( s ` y ) ) <-> ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) )
26	18, 25	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( A. y e. ( BaseSet ` w ) ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x P ( s ` y ) ) <-> A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) )
27	26	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( w = W -> ( A. x e. X A. y e. ( BaseSet ` w ) ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x P ( s ` y ) ) <-> A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) )
28	19, 20, 27	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( w = W -> ( ( t : X --> ( BaseSet ` w ) /\ s : ( BaseSet ` w ) --> X /\ A. x e. X A. y e. ( BaseSet ` w ) ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) <-> ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) ) )
29	28	opabbidv 4716	. . 3 |- ( w = W -> { <. t , s >. | ( t : X --> ( BaseSet ` w ) /\ s : ( BaseSet ` w ) --> X /\ A. x e. X A. y e. ( BaseSet ` w ) ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } = { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } )
30		df-aj 27605	. . 3 |- adj = ( u e. NrmCVec , w e. NrmCVec |-> { <. t , s >. | ( t : ( BaseSet ` u ) --> ( BaseSet ` w ) /\ s : ( BaseSet ` w ) --> ( BaseSet ` u ) /\ A. x e. ( BaseSet ` u ) A. y e. ( BaseSet ` w ) ( ( t ` x ) ( .iOLD ` w ) y ) = ( x ( .iOLD ` u ) ( s ` y ) ) ) } )
31		ovex 6678	. . . . 5 |- ( Y ^m X ) e. _V
32		ovex 6678	. . . . 5 |- ( X ^m Y ) e. _V
33	31, 32	xpex 6962	. . . 4 |- ( ( Y ^m X ) X. ( X ^m Y ) ) e. _V
34		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( BaseSet ` W ) e. _V
35	17, 34	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- Y e. _V
36		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( BaseSet ` U ) e. _V
37	3, 36	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- X e. _V
38	35, 37	elmap 7886	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( Y ^m X ) <-> t : X --> Y )
39	37, 35	elmap 7886	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( X ^m Y ) <-> s : Y --> X )
40	38, 39	anbi12i 733	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. ( Y ^m X ) /\ s e. ( X ^m Y ) ) <-> ( t : X --> Y /\ s : Y --> X ) )
41	40	biimpri 218	. . . . . . 7 |- ( ( t : X --> Y /\ s : Y --> X ) -> ( t e. ( Y ^m X ) /\ s e. ( X ^m Y ) ) )
42	41	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) -> ( t e. ( Y ^m X ) /\ s e. ( X ^m Y ) ) )
43	42	ssopab2i 5003	. . . . 5 |- { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } C_ { <. t , s >. | ( t e. ( Y ^m X ) /\ s e. ( X ^m Y ) ) }
44		df-xp 5120	. . . . 5 |- ( ( Y ^m X ) X. ( X ^m Y ) ) = { <. t , s >. | ( t e. ( Y ^m X ) /\ s e. ( X ^m Y ) ) }
45	43, 44	sseqtr4i 3638	. . . 4 |- { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } C_ ( ( Y ^m X ) X. ( X ^m Y ) )
46	33, 45	ssexi 4803	. . 3 |- { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } e. _V
47	15, 29, 30, 46	ovmpt2 6796	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( U adj W ) = { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } )
48	1, 47	syl5eq 2668	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> A = { <. t , s >. | ( t : X --> Y /\ s : Y --> X /\ A. x e. X A. y e. Y ( ( t ` x ) Q y ) = ( x P ( s ` y ) ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {copab 4712   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   .iOLDcdip 27555   adjcaj 27603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-aj 27605

This theorem is referenced by:  ajfuni  27715  ajval  27717