Theorem altxpsspw 32084

Description: An inclusion rule for alternate Cartesian products. (Contributed by Scott Fenton, 24-Mar-2012.)

Assertion

Ref	Expression
altxpsspw	|- ( A XX. B ) C_ ~P ~P ( A u. ~P B )

Proof of Theorem altxpsspw

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elaltxp 32082	. . 3 |- ( z e. ( A XX. B ) <-> E. x e. A E. y e. B z = << x , y >> )
2		df-altop 32065	. . . . . 6 |- << x , y >> = { { x } , { x , { y } } }
3		snssi 4339	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> { x } C_ A )
4		ssun3 3778	. . . . . . . . 9 |- ( { x } C_ A -> { x } C_ ( A u. ~P B ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> { x } C_ ( A u. ~P B ) )
6	5	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x } C_ ( A u. ~P B ) )
7		elun1 3780	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> x e. ( A u. ~P B ) )
8		snssi 4339	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. B -> { y } C_ B )
9		snex 4908	. . . . . . . . . . . 12 |- { y } e. _V
10	9	elpw 4164	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y } e. ~P B <-> { y } C_ B )
11		elun2 3781	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y } e. ~P B -> { y } e. ( A u. ~P B ) )
12	10, 11	sylbir 225	. . . . . . . . . 10 |- ( { y } C_ B -> { y } e. ( A u. ~P B ) )
13	8, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> { y } e. ( A u. ~P B ) )
14	7, 13	anim12i 590	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x e. ( A u. ~P B ) /\ { y } e. ( A u. ~P B ) ) )
15		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
16	15, 9	prss 4351	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( A u. ~P B ) /\ { y } e. ( A u. ~P B ) ) <-> { x , { y } } C_ ( A u. ~P B ) )
17	14, 16	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , { y } } C_ ( A u. ~P B ) )
18		prex 4909	. . . . . . . . 9 |- { { x } , { x , { y } } } e. _V
19	18	elpw 4164	. . . . . . . 8 |- ( { { x } , { x , { y } } } e. ~P ~P ( A u. ~P B ) <-> { { x } , { x , { y } } } C_ ~P ( A u. ~P B ) )
20		snex 4908	. . . . . . . . 9 |- { x } e. _V
21		prex 4909	. . . . . . . . 9 |- { x , { y } } e. _V
22	20, 21	prsspw 4376	. . . . . . . 8 |- ( { { x } , { x , { y } } } C_ ~P ( A u. ~P B ) <-> ( { x } C_ ( A u. ~P B ) /\ { x , { y } } C_ ( A u. ~P B ) ) )
23	19, 22	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( { { x } , { x , { y } } } e. ~P ~P ( A u. ~P B ) <-> ( { x } C_ ( A u. ~P B ) /\ { x , { y } } C_ ( A u. ~P B ) ) )
24	6, 17, 23	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { { x } , { x , { y } } } e. ~P ~P ( A u. ~P B ) )
25	2, 24	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> << x , y >> e. ~P ~P ( A u. ~P B ) )
26		eleq1a 2696	. . . . 5 |- ( << x , y >> e. ~P ~P ( A u. ~P B ) -> ( z = << x , y >> -> z e. ~P ~P ( A u. ~P B ) ) )
27	25, 26	syl 17	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = << x , y >> -> z e. ~P ~P ( A u. ~P B ) ) )
28	27	rexlimivv 3036	. . 3 |- ( E. x e. A E. y e. B z = << x , y >> -> z e. ~P ~P ( A u. ~P B ) )
29	1, 28	sylbi 207	. 2 |- ( z e. ( A XX. B ) -> z e. ~P ~P ( A u. ~P B ) )
30	29	ssriv 3607	1 |- ( A XX. B ) C_ ~P ~P ( A u. ~P B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   <<caltop 32063   XX. caltxp 32064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-altop 32065  df-altxp 32066

This theorem is referenced by:  altxpexg  32085