Theorem asymref 5512

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive. U. U. R is the field of a relation by relfld 5661. (Contributed by NM, 6-May-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
asymref	|- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem asymref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4654	. . . . . . . . . . 11 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
2		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
3		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
4	2, 3	opeluu 4939	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. R -> ( x e. U. U. R /\ y e. U. U. R ) )
5	1, 4	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( x R y -> ( x e. U. U. R /\ y e. U. U. R ) )
6	5	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( x R y -> x e. U. U. R )
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( x R y /\ y R x ) -> x e. U. U. R )
8	7	pm4.71ri 665	. . . . . . 7 |- ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x e. U. U. R /\ ( x R y /\ y R x ) ) )
9	8	bibi1i 328	. . . . . 6 |- ( ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) <-> ( ( x e. U. U. R /\ ( x R y /\ y R x ) ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) )
10		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
11	2, 3	brcnv 5305	. . . . . . . . . 10 |- ( x `' R y <-> y R x )
12		df-br 4654	. . . . . . . . . 10 |- ( x `' R y <-> <. x , y >. e. `' R )
13	11, 12	bitr3i 266	. . . . . . . . 9 |- ( y R x <-> <. x , y >. e. `' R )
14	1, 13	anbi12i 733	. . . . . . . 8 |- ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( <. x , y >. e. R /\ <. x , y >. e. `' R ) )
15	10, 14	bitr4i 267	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> ( x R y /\ y R x ) )
16	3	opelres 5401	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) <-> ( <. x , y >. e. _I /\ x e. U. U. R ) )
17		df-br 4654	. . . . . . . . . 10 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
18	3	ideq 5274	. . . . . . . . . 10 |- ( x _I y <-> x = y )
19	17, 18	bitr3i 266	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. _I <-> x = y )
20	19	anbi2ci 732	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , y >. e. _I /\ x e. U. U. R ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) )
21	16, 20	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) )
22	15, 21	bibi12i 329	. . . . . 6 |- ( ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) )
23		pm5.32 668	. . . . . 6 |- ( ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) <-> ( ( x e. U. U. R /\ ( x R y /\ y R x ) ) <-> ( x e. U. U. R /\ x = y ) ) )
24	9, 22, 23	3bitr4i 292	. . . . 5 |- ( ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
25	24	albii 1747	. . . 4 |- ( A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> A. y ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
26		19.21v 1868	. . . 4 |- ( A. y ( x e. U. U. R -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) <-> ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
27	25, 26	bitri 264	. . 3 |- ( A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
28	27	albii 1747	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) <-> A. x ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
29		relcnv 5503	. . . 4 |- Rel `' R
30		relin2 5237	. . . 4 |- ( Rel `' R -> Rel ( R i^i `' R ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . 3 |- Rel ( R i^i `' R )
32		relres 5426	. . 3 |- Rel ( _I |` U. U. R )
33		eqrel 5209	. . 3 |- ( ( Rel ( R i^i `' R ) /\ Rel ( _I |` U. U. R ) ) -> ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) ) )
34	31, 32, 33	mp2an 708	. 2 |- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( R i^i `' R ) <-> <. x , y >. e. ( _I |` U. U. R ) ) )
35		df-ral 2917	. 2 |- ( A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) <-> A. x ( x e. U. U. R -> A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) ) )
36	28, 34, 35	3bitr4i 292	1 |- ( ( R i^i `' R ) = ( _I |` U. U. R ) <-> A. x e. U. U. R A. y ( ( x R y /\ y R x ) <-> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   Rel wrel 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-res 5126

This theorem is referenced by:  asymref2  5513  letsr  17227