Theorem atlatle 34607

Description: The ordering of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat3 29230 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlatle.b	|- B = ( Base ` K )
atlatle.l	|- .<_ = ( le ` K )
atlatle.a	|- A = ( Atoms ` K )

Assertion

Ref	Expression
atlatle	|- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   B, p   K, p   .<_ , p   X, p   Y, p

Proof of Theorem atlatle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl13 1138	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> K e. AtLat )
2		atlpos 34588	. . . . . 6 |- ( K e. AtLat -> K e. Poset )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> K e. Poset )
4		atlatle.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
5		atlatle.a	. . . . . . 7 |- A = ( Atoms ` K )
6	4, 5	atbase 34576	. . . . . 6 |- ( p e. A -> p e. B )
7	6	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> p e. B )
8		simpl2 1065	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> X e. B )
9		simpl3 1066	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> Y e. B )
10		atlatle.l	. . . . . 6 |- .<_ = ( le ` K )
11	4, 10	postr 16953	. . . . 5 |- ( ( K e. Poset /\ ( p e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( p .<_ X /\ X .<_ Y ) -> p .<_ Y ) )
12	3, 7, 8, 9, 11	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( p .<_ X /\ X .<_ Y ) -> p .<_ Y ) )
13	12	expcomd 454	. . 3 |- ( ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( X .<_ Y -> ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
14	13	ralrimdva 2969	. 2 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
15		ss2rab 3678	. . 3 |- ( { p e. A | p .<_ X } C_ { p e. A | p .<_ Y } <-> A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) )
16		simpl12 1137	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ { p e. A | p .<_ X } C_ { p e. A | p .<_ Y } ) -> K e. CLat )
17		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { p e. A | p .<_ Y } C_ A
18	4, 5	atssbase 34577	. . . . . . . 8 |- A C_ B
19	17, 18	sstri 3612	. . . . . . 7 |- { p e. A | p .<_ Y } C_ B
20		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( lub ` K ) = ( lub ` K )
21	4, 10, 20	lubss 17121	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ { p e. A | p .<_ Y } C_ B /\ { p e. A | p .<_ X } C_ { p e. A | p .<_ Y } ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. A | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. A | p .<_ Y } ) )
22	19, 21	mp3an2 1412	. . . . . 6 |- ( ( K e. CLat /\ { p e. A | p .<_ X } C_ { p e. A | p .<_ Y } ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. A | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. A | p .<_ Y } ) )
23	16, 22	sylancom 701	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ { p e. A | p .<_ X } C_ { p e. A | p .<_ Y } ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. A | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. A | p .<_ Y } ) )
24	23	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( { p e. A | p .<_ X } C_ { p e. A | p .<_ Y } -> ( ( lub ` K ) ` { p e. A | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. A | p .<_ Y } ) ) )
25	4, 10, 20, 5	atlatmstc 34606	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. A | p .<_ X } ) = X )
26	25	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. A | p .<_ X } ) = X )
27	4, 10, 20, 5	atlatmstc 34606	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. A | p .<_ Y } ) = Y )
28	27	3adant2 1080	. . . . 5 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( lub ` K ) ` { p e. A | p .<_ Y } ) = Y )
29	26, 28	breq12d 4666	. . . 4 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( lub ` K ) ` { p e. A | p .<_ X } ) .<_ ( ( lub ` K ) ` { p e. A | p .<_ Y } ) <-> X .<_ Y ) )
30	24, 29	sylibd 229	. . 3 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( { p e. A | p .<_ X } C_ { p e. A | p .<_ Y } -> X .<_ Y ) )
31	15, 30	syl5bir 233	. 2 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) -> X .<_ Y ) )
32	14, 31	impbid 202	1 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   lubclub 16942   CLatccla 17107   OMLcoml 34462   Atomscatm 34550   AtLatcal 34551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585

This theorem is referenced by:  atlrelat1  34608  hlatle  34684