Theorem hlatle 34684

Description: The ordering of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat3 29230 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatle.b	|- B = ( Base ` K )
hlatle.l	|- .<_ = ( le ` K )
hlatle.a	|- A = ( Atoms ` K )

Assertion

Ref	Expression
hlatle	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   B, p   K, p   .<_ , p   X, p   Y, p

Proof of Theorem hlatle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlomcmat 34651	. 2 |- ( K e. HL -> ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) )
2		hlatle.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
3		hlatle.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
4		hlatle.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
5	2, 3, 4	atlatle 34607	. 2 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. AtLat ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
6	1, 5	syl3an1 1359	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   CLatccla 17107   OMLcoml 34462   Atomscatm 34550   AtLatcal 34551   HLchlt 34637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638

This theorem is referenced by:  hlateq  34685  trlord  35857