Theorem brtpos0 7359

Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). This allows us to eliminate sethood hypotheses on A , B in brtpos 7361. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos0	|- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Proof of Theorem brtpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 7358	. 2 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) ) )
2		ssun2 3777	. . . . 5 |- { (/) } C_ ( `' dom F u. { (/) } )
3		0ex 4790	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4	3	snid 4208	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
5	2, 4	sselii 3600	. . . 4 |- (/) e. ( `' dom F u. { (/) } )
6	5	biantrur 527	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) )
7		cnvsn0 5603	. . . . . 6 |- `' { (/) } = (/)
8	7	unieqi 4445	. . . . 5 |- U. `' { (/) } = U. (/)
9		uni0 4465	. . . . 5 |- U. (/) = (/)
10	8, 9	eqtri 2644	. . . 4 |- U. `' { (/) } = (/)
11	10	breq1i 4660	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> (/) F A )
12	6, 11	bitr3i 266	. 2 |- ( ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) <-> (/) F A )
13	1, 12	syl6bb 276	1 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114  tpos ctpos 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-tpos 7352

This theorem is referenced by:  reldmtpos  7360  brtpos  7361  tpostpos  7372