Theorem tpostpos 7372

Description: Value of the double transposition for a general class F. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpostpos	|- tpos tpos F = ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )

Proof of Theorem tpostpos

Dummy variables x y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltpos 7357	. 2 |- Rel tpos tpos F
2		inss2 3834	. . 3 |- ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V )
3		relxp 5227	. . 3 |- Rel ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V )
4		relss 5206	. . 3 |- ( ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) -> ( Rel ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) -> Rel ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) ) )
5	2, 3, 4	mp2 9	. 2 |- Rel ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
6		relcnv 5503	. . . . . . . . 9 |- Rel `' dom tpos F
7		df-rel 5121	. . . . . . . . 9 |- ( Rel `' dom tpos F <-> `' dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
8	6, 7	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- `' dom tpos F C_ ( _V X. _V )
9		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) -> w e. `' dom tpos F )
10	8, 9	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) -> w e. ( _V X. _V ) )
11		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) -> w e. ( _V X. _V ) )
12		elvv 5177	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y w = <. x , y >. )
13		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. x , y >. -> ( w e. `' dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom tpos F ) )
14		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
15		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
16	14, 15	opelcnv 5304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. x , y >. e. `' dom tpos F <-> <. y , x >. e. dom tpos F )
17	13, 16	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = <. x , y >. -> ( w e. `' dom tpos F <-> <. y , x >. e. dom tpos F ) )
18		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = <. x , y >. -> { w } = { <. x , y >. } )
19	18	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = <. x , y >. -> `' { w } = `' { <. x , y >. } )
20	19	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = <. x , y >. -> U. `' { w } = U. `' { <. x , y >. } )
21		opswap 5622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. `' { <. x , y >. } = <. y , x >.
22	20, 21	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. x , y >. -> U. `' { w } = <. y , x >. )
23	22	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = <. x , y >. -> ( U. `' { w }tpos F z <-> <. y , x >.tpos F z ) )
24	17, 23	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) ) )
25		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. y , x >. e. _V
26		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
27	25, 26	breldm 5329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. y , x >.tpos F z -> <. y , x >. e. dom tpos F )
28	27	pm4.71ri 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. y , x >.tpos F z <-> ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) )
29		brtpos 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> ( <. y , x >.tpos F z <-> <. x , y >. F z ) )
30	26, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. y , x >.tpos F z <-> <. x , y >. F z )
31	28, 30	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) <-> <. x , y >. F z )
32	24, 31	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> <. x , y >. F z ) )
33		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. x , y >. -> ( w F z <-> <. x , y >. F z ) )
34	32, 33	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
35	34	exlimivv 1860	. . . . . . . . 9 |- ( E. x E. y w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
36	12, 35	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
37		iba 524	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( w F z <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) ) )
38	36, 37	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) ) )
39	10, 11, 38	pm5.21nii 368	. . . . . 6 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) )
40		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { (/) } -> w = (/) )
41	40	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { (/) } -> { w } = { (/) } )
42	41	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. { (/) } -> `' { w } = `' { (/) } )
43		cnvsn0 5603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' { (/) } = (/)
44	42, 43	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. { (/) } -> `' { w } = (/) )
45	44	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. { (/) } -> U. `' { w } = U. (/) )
46		uni0 4465	. . . . . . . . . . . 12 |- U. (/) = (/)
47	45, 46	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. { (/) } -> U. `' { w } = (/) )
48	47	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> (/)tpos F z ) )
49		brtpos0 7359	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( (/)tpos F z <-> (/) F z ) )
50	26, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( (/)tpos F z <-> (/) F z )
51	48, 50	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> (/) F z ) )
52	40	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { (/) } -> ( w F z <-> (/) F z ) )
53	51, 52	bitr4d 271	. . . . . . . 8 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> w F z ) )
54	53	pm5.32i 669	. . . . . . 7 |- ( ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w e. { (/) } /\ w F z ) )
55		ancom 466	. . . . . . 7 |- ( ( w e. { (/) } /\ w F z ) <-> ( w F z /\ w e. { (/) } ) )
56	54, 55	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. { (/) } ) )
57	39, 56	orbi12i 543	. . . . 5 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) \/ ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) ) <-> ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) \/ ( w F z /\ w e. { (/) } ) ) )
58		andir 912	. . . . 5 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) \/ ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) ) )
59		andi 911	. . . . 5 |- ( ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) <-> ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) \/ ( w F z /\ w e. { (/) } ) ) )
60	57, 58, 59	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) )
61		elun 3753	. . . . 5 |- ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) <-> ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) )
62	61	anbi1i 731	. . . 4 |- ( ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) )
63		brxp 5147	. . . . . . 7 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> ( w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z e. _V ) )
64	26, 63	mpbiran2 954	. . . . . 6 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) )
65		elun 3753	. . . . . 6 |- ( w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) <-> ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) )
66	64, 65	bitri 264	. . . . 5 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) )
67	66	anbi2i 730	. . . 4 |- ( ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) <-> ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) )
68	60, 62, 67	3bitr4i 292	. . 3 |- ( ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) )
69		brtpos2 7358	. . . 4 |- ( z e. _V -> ( wtpos tpos F z <-> ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) ) )
70	26, 69	ax-mp 5	. . 3 |- ( wtpos tpos F z <-> ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) )
71		brin 4704	. . 3 |- ( w ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) z <-> ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) )
72	68, 70, 71	3bitr4i 292	. 2 |- ( wtpos tpos F z <-> w ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) z )
73	1, 5, 72	eqbrriv 5215	1 |- tpos tpos F = ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   Rel wrel 5119  tpos ctpos 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-tpos 7352

This theorem is referenced by:  tpostpos2  7373