Theorem cdlemefr29exN 35690

Description: Lemma for cdlemefs29bpre1N 35705. (Compare cdleme25a 35641.) TODO: FIX COMMENT. TODO: IS THIS NEEDED? (Contributed by NM, 28-Mar-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemefr29.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemefr29.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemefr29.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemefr29.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemefr29.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemefr29.h	|- H = ( LHyp ` K )

Assertion

Ref	Expression
cdlemefr29exN	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> E. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) /\ ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   H, s   K, s   .<_ , s   ./\ , s   P, s   Q, s   W, s   X, s

Allowed substitution hints:   C( s)   .\/ ( s)

Proof of Theorem cdlemefr29exN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1091	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		simp2r 1088	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> ( X e. B /\ -. X .<_ W ) )
3		cdlemefr29.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
4		cdlemefr29.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
5		cdlemefr29.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
6		cdlemefr29.m	. . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
7		cdlemefr29.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
8		cdlemefr29.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	lhpmcvr2 35310	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) -> E. s e. A ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) )
10	1, 2, 9	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> E. s e. A ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) )
11		nfv 1843	. . . 4 |- F/ s ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
12		nfv 1843	. . . 4 |- F/ s ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) )
13		nfra1 2941	. . . 4 |- F/ s A. s e. A C e. B
14	11, 12, 13	nf3an 1831	. . 3 |- F/ s ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B )
15		simp11l 1172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> K e. HL )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> K e. HL )
17		hllat 34650	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> K e. Lat )
19		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> A. s e. A C e. B )
20		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> s e. A )
21		rsp 2929	. . . . . . . . 9 |- ( A. s e. A C e. B -> ( s e. A -> C e. B ) )
22	19, 20, 21	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> C e. B )
23	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> K e. Lat )
24		simp2rl 1130	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> X e. B )
25		simp11r 1173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> W e. H )
26	3, 8	lhpbase 35284	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. H -> W e. B )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> W e. B )
28	3, 6	latmcl 17052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B )
29	23, 24, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B )
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> ( X ./\ W ) e. B )
31	3, 5	latjcl 17051	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Lat /\ C e. B /\ ( X ./\ W ) e. B ) -> ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B )
32	18, 22, 30, 31	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B )
33	32	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ s e. A ) -> ( -. s .<_ W -> ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) )
34	33	adantrd 484	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ s e. A ) -> ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) )
35	34	ancld 576	. . . 4 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ s e. A ) -> ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) /\ ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) ) )
36	35	ex 450	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> ( s e. A -> ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) /\ ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) ) ) )
37	14, 36	reximdai 3012	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> ( E. s e. A ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> E. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) /\ ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) ) )
38	10, 37	mpd 15	1 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> E. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) /\ ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   meetcmee 16945   Latclat 17045   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-lhyp 35274

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