Theorem cdlemg2l 35891

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 23-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg2inv.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg2inv.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg2j.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg2j.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg2j.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg2j.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg2j.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )

Assertion

Ref	Expression
cdlemg2l	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ U ) )

Proof of Theorem cdlemg2l

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg2inv.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
2		cdlemg2inv.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3		cdlemg2j.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
4		cdlemg2j.j	. . . . 5 |- .\/ = ( join ` K )
5		cdlemg2j.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemg2j.m	. . . . 5 |- ./\ = ( meet ` K )
7		cdlemg2j.u	. . . . 5 |- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cdlemg2k 35889	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ G e. T ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) = ( ( G ` P ) .\/ U ) )
9	8	3adant3l 1322	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) = ( ( G ` P ) .\/ U ) )
10	9	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( F ` ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ) = ( F ` ( ( G ` P ) .\/ U ) ) )
11		simp1 1061	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
12		simp3l 1089	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> F e. T )
13		simp3r 1090	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> G e. T )
14		simp2l 1087	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
15	3, 5, 1, 2	ltrnel 35425	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
16	11, 13, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
17	16	simpld 475	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( G ` P ) e. A )
18		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
19	18, 5	atbase 34576	. . . 4 |- ( ( G ` P ) e. A -> ( G ` P ) e. ( Base ` K ) )
20	17, 19	syl 17	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( G ` P ) e. ( Base ` K ) )
21		simp2r 1088	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
22	3, 5, 1, 2	ltrnel 35425	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) )
23	11, 13, 21, 22	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) )
24	23	simpld 475	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( G ` Q ) e. A )
25	18, 5	atbase 34576	. . . 4 |- ( ( G ` Q ) e. A -> ( G ` Q ) e. ( Base ` K ) )
26	24, 25	syl 17	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( G ` Q ) e. ( Base ` K ) )
27	18, 4, 1, 2	ltrnj 35418	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( G ` P ) e. ( Base ` K ) /\ ( G ` Q ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( F ` ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ) = ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) )
28	11, 12, 20, 26, 27	syl112anc 1330	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( F ` ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ) = ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) )
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cdlemg2fv2 35888	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( F ` ( ( G ` P ) .\/ U ) ) = ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ U ) )
30	11, 14, 21, 16, 12, 29	syl131anc 1339	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( F ` ( ( G ` P ) .\/ U ) ) = ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ U ) )
31	10, 28, 30	3eqtr3d 2664	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   meetcmee 16945   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446

This theorem is referenced by:  cdlemg9a  35920  cdlemg9b  35921  cdlemg12b  35932