Theorem climcn1 14322

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climcn1.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climcn1.3	|- ( ph -> A e. B )
climcn1.4	|- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
climcn1.5	|- ( ph -> G ~~> A )
climcn1.6	|- ( ph -> H e. W )
climcn1.7	|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
climcn1.8	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. B )
climcn1.9	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climcn1	|- ( ph -> H ~~> ( F ` A ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, A   B, k, z   k, G, y, z   k, H, x   k, F, x, y, z   ph, k, x, y, z   k, Z, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   G( x)   H( y, z)   M( x, y, z, k)   W( x, y, z, k)   Z( x, z)

Proof of Theorem climcn1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
2		climcn1.1	. . . . . . . 8 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		climcn1.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> M e. ZZ )
5		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
6		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
7		climcn1.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G ~~> A )
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> G ~~> A )
9	2, 4, 5, 6, 8	climi2 14242	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y )
10	2	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
11		climcn1.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. B )
12	11	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. B )
13		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( G ` k ) -> ( z - A ) = ( ( G ` k ) - A ) )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( G ` k ) -> ( abs ` ( z - A ) ) = ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) )
15	14	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y <-> ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y ) )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( G ` k ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
17	16	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) = ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) )
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( G ` k ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) )
19	18	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
20	15, 19	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) <-> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) )
21	20	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G ` k ) e. B /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
22	12, 21	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ k e. Z ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
23	22	an32s 846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
24	10, 23	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
25	24	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
26	25	ralimdva 2962	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
27	26	reximdva 3017	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
28	27	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( G ` k ) - A ) ) < y -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) ) )
29	9, 28	mpid 44	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
30	29	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
31	30	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. B ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
32	1, 31	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x )
33	32	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x )
34		climcn1.6	. . 3 |- ( ph -> H e. W )
35		climcn1.9	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
36		climcn1.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. B )
37		climcn1.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( F ` z ) e. CC )
38	37	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. B ( F ` z ) e. CC )
39		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( F ` z ) = ( F ` A ) )
40	39	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( F ` z ) e. CC <-> ( F ` A ) e. CC ) )
41	40	rspcv 3305	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A. z e. B ( F ` z ) e. CC -> ( F ` A ) e. CC ) )
42	36, 38, 41	sylc 65	. . 3 |- ( ph -> ( F ` A ) e. CC )
43	38	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A. z e. B ( F ` z ) e. CC )
44	16	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( z = ( G ` k ) -> ( ( F ` z ) e. CC <-> ( F ` ( G ` k ) ) e. CC ) )
45	44	rspcv 3305	. . . 4 |- ( ( G ` k ) e. B -> ( A. z e. B ( F ` z ) e. CC -> ( F ` ( G ` k ) ) e. CC ) )
46	11, 43, 45	sylc 65	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` ( G ` k ) ) e. CC )
47	2, 3, 34, 35, 42, 46	clim2c 14236	. 2 |- ( ph -> ( H ~~> ( F ` A ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` ( G ` k ) ) - ( F ` A ) ) ) < x ) )
48	33, 47	mpbird 247	1 |- ( ph -> H ~~> ( F ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   < clt 10074   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  climcn1lem  14333  climcncf  22703  climrec  39835