Theorem rlimcn2 14321

Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn2.1a	|- ( ( ph /\ z e. A ) -> B e. X )
rlimcn2.1b	|- ( ( ph /\ z e. A ) -> C e. Y )
rlimcn2.2a	|- ( ph -> R e. X )
rlimcn2.2b	|- ( ph -> S e. Y )
rlimcn2.3a	|- ( ph -> ( z e. A |-> B ) ~~> r R )
rlimcn2.3b	|- ( ph -> ( z e. A |-> C ) ~~> r S )
rlimcn2.4	|- ( ph -> F : ( X X. Y ) --> CC )
rlimcn2.5	|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. r e. RR+ E. s e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) )

Assertion

Ref	Expression
rlimcn2	|- ( ph -> ( z e. A |-> ( B F C ) ) ~~> r ( R F S ) )

Distinct variable groups:   s, r, x, z, A   u, r, v, F, s, x, z   R, r, s, u, v, x, z   B, r, s, u, v, x   ph, r, s, x, z   S, r, s, u, v, x, z   C, r, s, v, x   u, X, z   u, Y, v, z

Allowed substitution hints:   ph( v, u)   A( v, u)   B( z)   C( z, u)   X( x, v, s, r)   Y( x, s, r)

Proof of Theorem rlimcn2

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn2.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. r e. RR+ E. s e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) )
2		rlimcn2.1a	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> B e. X )
3	2	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. z e. A B e. X )
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) -> A. z e. A B e. X )
5		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) -> r e. RR+ )
6		rlimcn2.3a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. A |-> B ) ~~> r R )
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) -> ( z e. A |-> B ) ~~> r R )
8	4, 5, 7	rlimi 14244	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) -> E. a e. RR A. z e. A ( a <_ z -> ( abs ` ( B - R ) ) < r ) )
9		rlimcn2.1b	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> C e. Y )
10	9	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. z e. A C e. Y )
11	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) -> A. z e. A C e. Y )
12		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) -> s e. RR+ )
13		rlimcn2.3b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. A |-> C ) ~~> r S )
14	13	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) -> ( z e. A |-> C ) ~~> r S )
15	11, 12, 14	rlimi 14244	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) -> E. b e. RR A. z e. A ( b <_ z -> ( abs ` ( C - S ) ) < s ) )
16		reeanv 3107	. . . . . . . 8 |- ( E. a e. RR E. b e. RR ( A. z e. A ( a <_ z -> ( abs ` ( B - R ) ) < r ) /\ A. z e. A ( b <_ z -> ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) <-> ( E. a e. RR A. z e. A ( a <_ z -> ( abs ` ( B - R ) ) < r ) /\ E. b e. RR A. z e. A ( b <_ z -> ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) )
17		r19.26 3064	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. A ( ( a <_ z -> ( abs ` ( B - R ) ) < r ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) <-> ( A. z e. A ( a <_ z -> ( abs ` ( B - R ) ) < r ) /\ A. z e. A ( b <_ z -> ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) )
18		prth 595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a <_ z -> ( abs ` ( B - R ) ) < r ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) -> ( ( a <_ z /\ b <_ z ) -> ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) )
19		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ z e. A ) -> a e. RR )
20		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ z e. A ) -> b e. RR )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. A |-> B ) = ( z e. A |-> B )
22	21, 2	dmmptd 6024	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom ( z e. A |-> B ) = A )
23		rlimss 14233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. A |-> B ) ~~> r R -> dom ( z e. A |-> B ) C_ RR )
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> dom ( z e. A |-> B ) C_ RR )
25	22, 24	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A C_ RR )
26	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> A C_ RR )
27	26	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
28		maxle 12022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ z e. RR ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z <-> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) )
29	19, 20, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ z e. A ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z <-> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) )
30	29	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ z e. A ) -> ( ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) <-> ( ( a <_ z /\ b <_ z ) -> ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) ) )
31	18, 30	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ z e. A ) -> ( ( ( a <_ z -> ( abs ` ( B - R ) ) < r ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) ) )
32	31	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( A. z e. A ( ( a <_ z -> ( abs ` ( B - R ) ) < r ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) -> A. z e. A ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) ) )
33		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b e. RR /\ a e. RR ) -> if ( a <_ b , b , a ) e. RR )
34	33	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , b , a ) e. RR )
35	34	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) -> if ( a <_ b , b , a ) e. RR )
36	2	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ z e. A ) -> B e. X )
37	9	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ z e. A ) -> C e. Y )
38	36, 37	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ z e. A ) -> ( B e. X /\ C e. Y ) )
39		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = B -> ( u - R ) = ( B - R ) )
40	39	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = B -> ( abs ` ( u - R ) ) = ( abs ` ( B - R ) ) )
41	40	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = B -> ( ( abs ` ( u - R ) ) < r <-> ( abs ` ( B - R ) ) < r ) )
42	41	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = B -> ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) <-> ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) ) )
43		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = B -> ( u F v ) = ( B F v ) )
44	43	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = B -> ( ( u F v ) - ( R F S ) ) = ( ( B F v ) - ( R F S ) ) )
45	44	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = B -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) = ( abs ` ( ( B F v ) - ( R F S ) ) ) )
46	45	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = B -> ( ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( B F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) )
47	42, 46	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u = B -> ( ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) <-> ( ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( B F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) )
48		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = C -> ( v - S ) = ( C - S ) )
49	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v = C -> ( abs ` ( v - S ) ) = ( abs ` ( C - S ) ) )
50	49	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = C -> ( ( abs ` ( v - S ) ) < s <-> ( abs ` ( C - S ) ) < s ) )
51	50	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = C -> ( ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) <-> ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) )
52		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = C -> ( B F v ) = ( B F C ) )
53	52	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v = C -> ( ( B F v ) - ( R F S ) ) = ( ( B F C ) - ( R F S ) ) )
54	53	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = C -> ( abs ` ( ( B F v ) - ( R F S ) ) ) = ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) )
55	54	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = C -> ( ( abs ` ( ( B F v ) - ( R F S ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) )
56	51, 55	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = C -> ( ( ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( B F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) <-> ( ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) )
57	47, 56	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B e. X /\ C e. Y ) /\ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) -> ( ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) )
58	38, 57	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ z e. A ) /\ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) -> ( ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) )
59	58	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ z e. A ) /\ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) -> ( ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) )
60	59	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) /\ z e. A ) -> ( ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) )
61	60	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) -> ( A. z e. A ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) -> A. z e. A ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) )
62	61	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) -> ( A. z e. A ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) -> A. z e. A ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) )
63		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = if ( a <_ b , b , a ) -> ( c <_ z <-> if ( a <_ b , b , a ) <_ z ) )
64	63	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = if ( a <_ b , b , a ) -> ( ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) <-> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) )
65	64	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = if ( a <_ b , b , a ) -> ( A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) <-> A. z e. A ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) )
66	65	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( if ( a <_ b , b , a ) e. RR /\ A. z e. A ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) -> E. c e. RR A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) )
67	35, 62, 66	syl6an 568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) -> ( A. z e. A ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) -> E. c e. RR A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) )
68	67	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) -> ( A. z e. A ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) -> E. c e. RR A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) ) )
69	68	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( A. z e. A ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( ( abs ` ( B - R ) ) < r /\ ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) -> ( A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) -> E. c e. RR A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) ) )
70	32, 69	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( A. z e. A ( ( a <_ z -> ( abs ` ( B - R ) ) < r ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) -> ( A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) -> E. c e. RR A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) ) )
71	17, 70	syl5bir 233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( ( A. z e. A ( a <_ z -> ( abs ` ( B - R ) ) < r ) /\ A. z e. A ( b <_ z -> ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) -> ( A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) -> E. c e. RR A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) ) )
72	71	rexlimdvva 3038	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) -> ( E. a e. RR E. b e. RR ( A. z e. A ( a <_ z -> ( abs ` ( B - R ) ) < r ) /\ A. z e. A ( b <_ z -> ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) -> ( A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) -> E. c e. RR A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) ) )
73	16, 72	syl5bir 233	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) -> ( ( E. a e. RR A. z e. A ( a <_ z -> ( abs ` ( B - R ) ) < r ) /\ E. b e. RR A. z e. A ( b <_ z -> ( abs ` ( C - S ) ) < s ) ) -> ( A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) -> E. c e. RR A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) ) )
74	8, 15, 73	mp2and 715	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( r e. RR+ /\ s e. RR+ ) ) -> ( A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) -> E. c e. RR A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) )
75	74	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. r e. RR+ E. s e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) -> E. c e. RR A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) )
76	75	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. r e. RR+ E. s e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( abs ` ( u - R ) ) < r /\ ( abs ` ( v - S ) ) < s ) -> ( abs ` ( ( u F v ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) -> E. c e. RR A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) )
77	1, 76	syldan 487	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. c e. RR A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) )
78	77	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. c e. RR A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) )
79		rlimcn2.4	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( X X. Y ) --> CC )
80	79	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> F : ( X X. Y ) --> CC )
81	80, 2, 9	fovrnd 6806	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( B F C ) e. CC )
82	81	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. z e. A ( B F C ) e. CC )
83		rlimcn2.2a	. . . 4 |- ( ph -> R e. X )
84		rlimcn2.2b	. . . 4 |- ( ph -> S e. Y )
85	79, 83, 84	fovrnd 6806	. . 3 |- ( ph -> ( R F S ) e. CC )
86	82, 25, 85	rlim2 14227	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. A |-> ( B F C ) ) ~~> r ( R F S ) <-> A. x e. RR+ E. c e. RR A. z e. A ( c <_ z -> ( abs ` ( ( B F C ) - ( R F S ) ) ) < x ) ) )
87	78, 86	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( z e. A |-> ( B F C ) ) ~~> r ( R F S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  rlimadd  14373  rlimsub  14374  rlimmul  14375