Theorem climrec 39835

Description: Limit of the reciprocal of a converging sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrec.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climrec.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climrec.3	|- ( ph -> G ~~> A )
climrec.4	|- ( ph -> A =/= 0 )
climrec.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. ( CC \ { 0 } ) )
climrec.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( 1 / ( G ` k ) ) )
climrec.7	|- ( ph -> H e. W )

Assertion

Ref	Expression
climrec	|- ( ph -> H ~~> ( 1 / A ) )

Distinct variable groups:   ph, k   A, k   k, G   k, H   k, Z

Allowed substitution hints:   M( k)   W( k)

Proof of Theorem climrec

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrec.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climrec.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climrec.3	. . . . 5 |- ( ph -> G ~~> A )
4		climcl 14230	. . . . 5 |- ( G ~~> A -> A e. CC )
5	3, 4	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
6		climrec.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= 0 )
7	6	neneqd 2799	. . . . 5 |- ( ph -> -. A = 0 )
8		c0ex 10034	. . . . . 6 |- 0 e. _V
9	8	elsn2 4211	. . . . 5 |- ( A e. { 0 } <-> A = 0 )
10	7, 9	sylnibr 319	. . . 4 |- ( ph -> -. A e. { 0 } )
11	5, 10	eldifd 3585	. . 3 |- ( ph -> A e. ( CC \ { 0 } ) )
12		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) = ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) )
13		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ w = z ) -> w = z )
14	13	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ w = z ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / z ) )
15		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) -> z e. ( CC \ { 0 } ) )
16	15	eldifad 3586	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) -> z e. CC )
17		eldifsni 4320	. . . . . . 7 |- ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> z =/= 0 )
18	17	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) -> z =/= 0 )
19	16, 18	reccld 10794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( 1 / z ) e. CC )
20	12, 14, 15, 19	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` z ) = ( 1 / z ) )
21	20, 19	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` z ) e. CC )
22		climrec.7	. . 3 |- ( ph -> H e. W )
23		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. x ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. x ) ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) ) = ( if ( 1 <_ ( ( abs ` A ) x. x ) , 1 , ( ( abs ` A ) x. x ) ) x. ( ( abs ` A ) / 2 ) )
24	23	reccn2 14327	. . . . 5 |- ( ( A e. ( CC \ { 0 } ) /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) )
25	11, 24	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) )
26		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) = ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) )
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ w = z ) -> w = z )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) /\ w = z ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / z ) )
29		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> z e. ( CC \ { 0 } ) )
30		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> z e. CC )
31	30, 17	reccld 10794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( 1 / z ) e. CC )
32	26, 28, 29, 31	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` z ) = ( 1 / z ) )
33	32	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) ) ) /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < y ) -> ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` z ) = ( 1 / z ) )
34		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) = ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) )
35		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w = A ) -> w = A )
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w = A ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / A ) )
37	5, 6	reccld 10794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 / A ) e. CC )
38	34, 36, 11, 37	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` A ) = ( 1 / A ) )
39	38	ad4antr 768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) ) ) /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < y ) -> ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` A ) = ( 1 / A ) )
40	33, 39	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) ) ) /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < y ) -> ( ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` z ) - ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` A ) ) = ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) )
41	40	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) ) ) /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` z ) - ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` A ) ) ) = ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) )
42	29	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) ) ) /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < y ) -> z e. ( CC \ { 0 } ) )
43		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) ) ) /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < y ) -> ( abs ` ( z - A ) ) < y )
44		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) ) ) /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < y ) -> ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) ) )
45	42, 43, 44	mp2d 49	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) ) ) /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x )
46	41, 45	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) ) ) /\ z e. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( abs ` ( z - A ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` z ) - ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` A ) ) ) < x )
47	46	exp41 638	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) ) -> ( z e. ( CC \ { 0 } ) -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` z ) - ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` A ) ) ) < x ) ) ) )
48	47	ralimdv2 2961	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. z e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) -> A. z e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` z ) - ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` A ) ) ) < x ) ) )
49	48	reximdv 3016	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( 1 / z ) - ( 1 / A ) ) ) < x ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` z ) - ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` A ) ) ) < x ) ) )
50	25, 49	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. ( CC \ { 0 } ) ( ( abs ` ( z - A ) ) < y -> ( abs ` ( ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` z ) - ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` A ) ) ) < x ) )
51		climrec.5	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. ( CC \ { 0 } ) )
52		climrec.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( 1 / ( G ` k ) ) )
53		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) = ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) )
54		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` k ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / ( G ` k ) ) )
55	54	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ w = ( G ` k ) ) -> ( 1 / w ) = ( 1 / ( G ` k ) ) )
56	51	eldifad 3586	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
57		eldifsni 4320	. . . . . . 7 |- ( ( G ` k ) e. ( CC \ { 0 } ) -> ( G ` k ) =/= 0 )
58	51, 57	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) =/= 0 )
59	56, 58	reccld 10794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( 1 / ( G ` k ) ) e. CC )
60	53, 55, 51, 59	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` ( G ` k ) ) = ( 1 / ( G ` k ) ) )
61	52, 60	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` ( G ` k ) ) )
62	1, 2, 11, 21, 3, 22, 50, 51, 61	climcn1 14322	. 2 |- ( ph -> H ~~> ( ( w e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / w ) ) ` A ) )
63	62, 38	breqtrd 4679	1 |- ( ph -> H ~~> ( 1 / A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  climrecf  39841  wallispi  40287