Theorem uztrn2 11705

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	|- Z = ( ZZ>= ` K )

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	|- ( ( N e. Z /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. Z )

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` K )
2	1	eleq2i 2693	. . 3 |- ( N e. Z <-> N e. ( ZZ>= ` K ) )
3		uztrn 11704	. . . 4 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` N ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
4	3	ancoms 469	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
5	2, 4	sylanb 489	. 2 |- ( ( N e. Z /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
6	5, 1	syl6eleqr 2712	1 |- ( ( N e. Z /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  eluznn0  11757  eluznn  11758  elfzuz2  12346  rexuz3  14088  r19.29uz  14090  r19.2uz  14091  clim2  14235  clim2c  14236  clim0c  14238  rlimclim1  14276  2clim  14303  climabs0  14316  climcn1  14322  climcn2  14323  climsqz  14371  climsqz2  14372  clim2ser  14385  clim2ser2  14386  climub  14392  climsup  14400  caurcvg2  14408  serf0  14411  iseraltlem1  14412  iseralt  14415  cvgcmp  14548  cvgcmpce  14550  isumsup2  14578  mertenslem1  14616  clim2div  14621  ntrivcvgfvn0  14631  ntrivcvgmullem  14633  fprodeq0  14705  lmbrf  21064  lmss  21102  lmres  21104  txlm  21451  uzrest  21701  lmmcvg  23059  lmmbrf  23060  iscau4  23077  iscauf  23078  caucfil  23081  iscmet3lem3  23088  iscmet3lem1  23089  lmle  23099  lmclim  23101  mbflimsup  23433  ulm2  24139  ulmcaulem  24148  ulmcau  24149  ulmss  24151  ulmdvlem1  24154  ulmdvlem3  24156  mtest  24158  itgulm  24162  logfaclbnd  24947  bposlem6  25014  caures  33556  caushft  33557  dvgrat  38511  cvgdvgrat  38512  climinf  39838  clim2f  39868  clim2cf  39882  clim0cf  39886  clim2f2  39902  fnlimfvre  39906  allbutfifvre  39907  limsupvaluz2  39970  limsupreuzmpt  39971  supcnvlimsup  39972  climuzlem  39975  climisp  39978  climrescn  39980  climxrrelem  39981  climxrre  39982  limsupgtlem  40009  liminfreuzlem  40034  liminfltlem  40036  liminflimsupclim  40039  xlimmnfvlem2  40059  xlimmnfv  40060  xlimpnfvlem2  40063  xlimpnfv  40064  xlimmnfmpt  40069  xlimpnfmpt  40070  climxlim2lem  40071  smflimlem1  40979  smflimlem2  40980  smflimlem3  40981  smflimmpt  41016  smflimsuplem4  41029  smflimsuplem7  41032  smflimsupmpt  41035  smfliminfmpt  41038