Theorem cnfex 39187

Description: The class of continuous functions between two topologies is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfex	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) e. _V )

Proof of Theorem cnfex

Dummy variables y f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- U. J = U. J
2	1	jctr 565	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( J e. Top /\ U. J = U. J ) )
3		istopon 20717	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) <-> ( J e. Top /\ U. J = U. J ) )
4	2, 3	sylibr 224	. . 3 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` U. J ) )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- U. K = U. K
6	5	jctr 565	. . . 4 |- ( K e. Top -> ( K e. Top /\ U. K = U. K ) )
7		istopon 20717	. . . 4 |- ( K e. (TopOn ` U. K ) <-> ( K e. Top /\ U. K = U. K ) )
8	6, 7	sylibr 224	. . 3 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` U. K ) )
9		cnfval 21037	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
10	4, 8, 9	syl2an 494	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
11		uniexg 6955	. . . . 5 |- ( K e. Top -> U. K e. _V )
12		uniexg 6955	. . . . 5 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
13		mapvalg 7867	. . . . 5 |- ( ( U. K e. _V /\ U. J e. _V ) -> ( U. K ^m U. J ) = { f | f : U. J --> U. K } )
14	11, 12, 13	syl2anr 495	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( U. K ^m U. J ) = { f | f : U. J --> U. K } )
15		mapex 7863	. . . . 5 |- ( ( U. J e. _V /\ U. K e. _V ) -> { f | f : U. J --> U. K } e. _V )
16	12, 11, 15	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> { f | f : U. J --> U. K } e. _V )
17	14, 16	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( U. K ^m U. J ) e. _V )
18		rabexg 4812	. . 3 |- ( ( U. K ^m U. J ) e. _V -> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } e. _V )
19	17, 18	syl 17	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } e. _V )
20	10, 19	eqeltrd 2701	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-topon 20716  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  stoweidlem53  40270  stoweidlem57  40274