Theorem fnchoice 39188

Description: For a finite set, a choice function exists, without using the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fnchoice	|- ( A e. Fin -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )

Distinct variable group:   x, f, A

Proof of Theorem fnchoice

Dummy variables g w y z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fneq2 5980	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( f Fn w <-> f Fn (/) ) )
2		raleq 3138	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( A. x e. w ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) <-> A. x e. (/) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )
3	1, 2	anbi12d 747	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( f Fn w /\ A. x e. w ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) <-> ( f Fn (/) /\ A. x e. (/) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) )
4	3	exbidv 1850	. 2 |- ( w = (/) -> ( E. f ( f Fn w /\ A. x e. w ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) <-> E. f ( f Fn (/) /\ A. x e. (/) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) )
5		fneq2 5980	. . . 4 |- ( w = y -> ( f Fn w <-> f Fn y ) )
6		raleq 3138	. . . 4 |- ( w = y -> ( A. x e. w ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) <-> A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )
7	5, 6	anbi12d 747	. . 3 |- ( w = y -> ( ( f Fn w /\ A. x e. w ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) <-> ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) )
8	7	exbidv 1850	. 2 |- ( w = y -> ( E. f ( f Fn w /\ A. x e. w ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) <-> E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) )
9		fneq2 5980	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( f Fn w <-> f Fn ( y u. { z } ) ) )
10		raleq 3138	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. x e. w ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) <-> A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )
11	9, 10	anbi12d 747	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( f Fn w /\ A. x e. w ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) <-> ( f Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) )
12	11	exbidv 1850	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( E. f ( f Fn w /\ A. x e. w ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) <-> E. f ( f Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) )
13		fneq2 5980	. . . 4 |- ( w = A -> ( f Fn w <-> f Fn A ) )
14		raleq 3138	. . . 4 |- ( w = A -> ( A. x e. w ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) <-> A. x e. A ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )
15	13, 14	anbi12d 747	. . 3 |- ( w = A -> ( ( f Fn w /\ A. x e. w ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) )
16	15	exbidv 1850	. 2 |- ( w = A -> ( E. f ( f Fn w /\ A. x e. w ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) <-> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) )
17		eqid 2622	. . . . . 6 |- (/) = (/)
18		fn0 6011	. . . . . 6 |- ( (/) Fn (/) <-> (/) = (/) )
19	17, 18	mpbir 221	. . . . 5 |- (/) Fn (/)
20		0ex 4790	. . . . . 6 |- (/) e. _V
21		fneq1 5979	. . . . . 6 |- ( f = (/) -> ( f Fn (/) <-> (/) Fn (/) ) )
22	20, 21	spcev 3300	. . . . 5 |- ( (/) Fn (/) -> E. f f Fn (/) )
23	19, 22	ax-mp 5	. . . 4 |- E. f f Fn (/)
24		ral0 4076	. . . 4 |- A. x e. (/) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x )
25	23, 24	pm3.2i 471	. . 3 |- ( E. f f Fn (/) /\ A. x e. (/) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) )
26	25	exan 1788	. 2 |- E. f ( f Fn (/) /\ A. x e. (/) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) )
27		dffn2 6047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fn y <-> f : y --> _V )
28	27	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fn y -> f : y --> _V )
29	28	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> f : y --> _V )
30		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> z e. _V )
32		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> -. z e. y )
33		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. _V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> w e. _V )
35		fsnunf 6451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : y --> _V /\ ( z e. _V /\ -. z e. y ) /\ w e. _V ) -> ( f u. { <. z , w >. } ) : ( y u. { z } ) --> _V )
36	29, 31, 32, 34, 35	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> ( f u. { <. z , w >. } ) : ( y u. { z } ) --> _V )
37		dffn2 6047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f u. { <. z , w >. } ) Fn ( y u. { z } ) <-> ( f u. { <. z , w >. } ) : ( y u. { z } ) --> _V )
38	36, 37	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> ( f u. { <. z , w >. } ) Fn ( y u. { z } ) )
39		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> z = (/) )
40		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) )
41		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( z = (/) /\ -. z e. y )
42		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x )
43	41, 42	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> x e. y )
45		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) -> -. z e. y )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) -> -. z e. y )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> -. z e. y )
48	44, 47	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> ( x e. y /\ -. z e. y ) )
49		nelne2 2891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. y /\ -. z e. y ) -> x =/= z )
50	49	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. y /\ -. z e. y ) -> z =/= x )
51	48, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> z =/= x )
52		fvunsn 6445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z =/= x -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) = ( f ` x ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) = ( f ` x ) )
54		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) -> A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) )
56		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> x =/= (/) )
57		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = x -> ( u =/= (/) <-> x =/= (/) ) )
58		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = x -> ( f ` u ) = ( f ` x ) )
59	58	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = x -> ( ( f ` u ) e. u <-> ( f ` x ) e. u ) )
60		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = x -> ( ( f ` x ) e. u <-> ( f ` x ) e. x ) )
61	59, 60	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = x -> ( ( f ` u ) e. u <-> ( f ` x ) e. x ) )
62	57, 61	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = x -> ( ( u =/= (/) -> ( f ` u ) e. u ) <-> ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )
63	62	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. u e. y ( u =/= (/) -> ( f ` u ) e. u ) <-> A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) )
64	62	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. y -> ( A. u e. y ( u =/= (/) -> ( f ` u ) e. u ) -> ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )
65	63, 64	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. y -> ( A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) -> ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )
66	44, 55, 56, 65	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> ( f ` x ) e. x )
67	53, 66	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x )
68		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) -> z = (/) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> z = (/) )
70		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> x e. { z } )
71		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> x =/= (/) )
72		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. { z } -> x = z )
73	72	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z = (/) /\ x e. { z } /\ x =/= (/) ) -> x = z )
74		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z = (/) /\ x e. { z } /\ x =/= (/) ) -> z = (/) )
75	73, 74	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z = (/) /\ x e. { z } /\ x =/= (/) ) -> x = (/) )
76		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z = (/) /\ x e. { z } /\ x =/= (/) ) -> x =/= (/) )
77	75, 76	pm2.21ddne 2878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z = (/) /\ x e. { z } /\ x =/= (/) ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x )
78	69, 70, 71, 77	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x )
79		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) -> x e. ( y u. { z } ) )
80		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( y u. { z } ) <-> ( x e. y \/ x e. { z } ) )
81	79, 80	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) -> ( x e. y \/ x e. { z } ) )
82	67, 78, 81	mpjaodan 827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x )
83	82	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) -> ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) )
84	83	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) -> ( x e. ( y u. { z } ) -> ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) ) )
85	43, 84	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z = (/) /\ -. z e. y ) /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) -> A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) )
86	39, 32, 40, 85	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) )
87	38, 86	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) ) )
88	87	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) -> ( ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) ) ) )
89	88	eximdv 1846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) -> ( E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) -> E. f ( ( f u. { <. z , w >. } ) Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) ) ) )
90		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- f e. _V
91		snex 4908	. . . . . . . . . . . 12 |- { <. z , w >. } e. _V
92	90, 91	unex 6956	. . . . . . . . . . 11 |- ( f u. { <. z , w >. } ) e. _V
93		fneq1 5979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( f u. { <. z , w >. } ) -> ( g Fn ( y u. { z } ) <-> ( f u. { <. z , w >. } ) Fn ( y u. { z } ) ) )
94		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( f u. { <. z , w >. } ) -> ( g ` x ) = ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) )
95	94	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( f u. { <. z , w >. } ) -> ( ( g ` x ) e. x <-> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) )
96	95	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( f u. { <. z , w >. } ) -> ( ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) <-> ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) ) )
97	96	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( f u. { <. z , w >. } ) -> ( A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) <-> A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) ) )
98	93, 97	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( f u. { <. z , w >. } ) -> ( ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) <-> ( ( f u. { <. z , w >. } ) Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) ) ) )
99	92, 98	spcev 3300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f u. { <. z , w >. } ) Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) ) -> E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) )
100	99	eximi 1762	. . . . . . . . 9 |- ( E. f ( ( f u. { <. z , w >. } ) Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) ) -> E. f E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) )
101	89, 100	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) -> ( E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) -> E. f E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) ) )
102		ax5e 1841	. . . . . . . 8 |- ( E. f E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) -> E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) )
103	101, 102	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) -> ( E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) -> E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) ) )
104	103	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ z = (/) ) /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) )
105	104	an32s 846	. . . . 5 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) /\ z = (/) ) -> E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) )
106		fneq1 5979	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( f Fn ( y u. { z } ) <-> g Fn ( y u. { z } ) ) )
107		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
108	107	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( ( f ` x ) e. x <-> ( g ` x ) e. x ) )
109	108	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) <-> ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) )
110	109	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) <-> A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) )
111	106, 110	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( ( f Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) <-> ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) ) )
112	111	cbvexv 2275	. . . . 5 |- ( E. f ( f Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) <-> E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) )
113	105, 112	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) /\ z = (/) ) -> E. f ( f Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )
114		simpllr 799	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) /\ -. z = (/) ) -> -. z e. y )
115		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) /\ -. z = (/) ) -> -. z = (/) )
116		neq0 3930	. . . . . . . 8 |- ( -. z = (/) <-> E. w w e. z )
117	115, 116	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) /\ -. z = (/) ) -> E. w w e. z )
118		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) /\ -. z = (/) ) -> E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )
119	117, 118	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) /\ -. z = (/) ) -> ( E. w w e. z /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) )
120	114, 119	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) /\ -. z = (/) ) -> ( -. z e. y /\ ( E. w w e. z /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) )
121		eeanv 2182	. . . . . . . . 9 |- ( E. w E. f ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) <-> ( E. w w e. z /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) )
122		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> f Fn y )
123	122, 27	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> f : y --> _V )
124	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> z e. _V )
125		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> -. z e. y )
126	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> w e. _V )
127	123, 124, 125, 126, 35	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> ( f u. { <. z , w >. } ) : ( y u. { z } ) --> _V )
128	127, 37	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> ( f u. { <. z , w >. } ) Fn ( y u. { z } ) )
129		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x -. z e. y
130		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x w e. z
131		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x f Fn y
132	131, 42	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) )
133	130, 132	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )
134	129, 133	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) )
135		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> x e. y )
136		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> -. z e. y )
137	135, 136	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> ( x e. y /\ -. z e. y ) )
138	50, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. y /\ -. z e. y ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) = ( f ` x ) )
139	137, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) = ( f ` x ) )
140		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) )
141	140	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) -> A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) )
142	141	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) -> A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) )
143	142	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) )
144		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> x =/= (/) )
145	135, 143, 144, 65	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> ( f ` x ) e. x )
146	139, 145	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. y ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x )
147		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) -> w e. z )
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) -> w e. z )
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> w e. z )
150		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> x e. { z } )
151	150, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> x = z )
152		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) = ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` z ) )
153	151, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) = ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` z ) )
154	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> z e. _V )
155	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> w e. _V )
156		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> -. z e. y )
157	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) -> f Fn y )
158	157	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) -> f Fn y )
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> f Fn y )
160		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f Fn y -> dom f = y )
161	159, 160	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> dom f = y )
162	156, 161	neleqtrrd 2723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> -. z e. dom f )
163		fsnunfv 6453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. _V /\ w e. _V /\ -. z e. dom f ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` z ) = w )
164	154, 155, 162, 163	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` z ) = w )
165	153, 164	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) = w )
166	149, 165, 151	3eltr4d 2716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) /\ x e. { z } ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x )
167		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) -> x e. ( y u. { z } ) )
168	167, 80	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) -> ( x e. y \/ x e. { z } ) )
169	146, 166, 168	mpjaodan 827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) /\ x =/= (/) ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x )
170	169	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) -> ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) )
171	170	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> ( x e. ( y u. { z } ) -> ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) ) )
172	134, 171	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) )
173	128, 172	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( ( f u. { <. z , w >. } ) ` x ) e. x ) ) )
174	173, 99	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. z e. y /\ ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) )
175	174	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( -. z e. y -> ( ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) ) )
176	175	2eximdv 1848	. . . . . . . . 9 |- ( -. z e. y -> ( E. w E. f ( w e. z /\ ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> E. w E. f E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) ) )
177	121, 176	syl5bir 233	. . . . . . . 8 |- ( -. z e. y -> ( ( E. w w e. z /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> E. w E. f E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) ) )
178	177	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( -. z e. y /\ ( E. w w e. z /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> E. w E. f E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) )
179	102	exlimiv 1858	. . . . . . 7 |- ( E. w E. f E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) -> E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) )
180	178, 179	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( -. z e. y /\ ( E. w w e. z /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> E. g ( g Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( g ` x ) e. x ) ) )
181	180, 112	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( -. z e. y /\ ( E. w w e. z /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) ) -> E. f ( f Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )
182	120, 181	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) /\ -. z = (/) ) -> E. f ( f Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )
183	113, 182	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) -> E. f ( f Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )
184	183	ex 450	. 2 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( E. f ( f Fn y /\ A. x e. y ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) -> E. f ( f Fn ( y u. { z } ) /\ A. x e. ( y u. { z } ) ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) ) )
185	4, 8, 12, 16, 26, 184	findcard2s 8201	1 |- ( A e. Fin -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( x =/= (/) -> ( f ` x ) e. x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  choicefi  39392  stoweidlem31  40248  stoweidlem35  40252  stoweidlem59  40276