Theorem stoweidlem53 40270

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem53.1	|- F/_ t U
stoweidlem53.2	|- F/ t ph
stoweidlem53.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem53.4	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem53.5	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
stoweidlem53.6	|- T = U. J
stoweidlem53.7	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem53.8	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem53.9	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem53.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem53.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem53.12	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem53.13	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem53.14	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem53.15	|- ( ph -> ( T \ U ) =/= (/) )
stoweidlem53.16	|- ( ph -> Z e. U )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem53	|- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, q, t, T   f, r, q, t, T   x, f, q, t, T   A, f, g, h, q, t   Q, f, g, q   U, f, g, h, q   f, Z, g, h, q, t   ph, f, g, h, q   w, g, h, t, T   g, W   h, J, t, w   q, p, t, T   A, p   U, p   Z, p   A, r   U, r   ph, r   t, K   w, Q   w, U   ph, w   x, A   x, Q   x, U   x, Z   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t, p)   A( w)   C( x, w, t, f, g, h, r, q, p)   Q( t, h, r, p)   U( t)   J( x, f, g, r, q, p)   K( x, w, f, g, h, r, q, p)   W( x, w, t, f, h, r, q, p)   Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem53

Dummy variables i m y u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem53.1	. . . 4 |- F/_ t U
2		stoweidlem53.2	. . . 4 |- F/ t ph
3		stoweidlem53.3	. . . 4 |- K = ( topGen ` ran (,) )
4		stoweidlem53.4	. . . 4 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
5		stoweidlem53.5	. . . 4 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
6		stoweidlem53.6	. . . 4 |- T = U. J
7		stoweidlem53.7	. . . 4 |- C = ( J Cn K )
8		stoweidlem53.8	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
9		stoweidlem53.9	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
10		stoweidlem53.10	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
11		stoweidlem53.11	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
12		stoweidlem53.12	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
13		stoweidlem53.13	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
14		stoweidlem53.14	. . . 4 |- ( ph -> U e. J )
15		stoweidlem53.16	. . . 4 |- ( ph -> Z e. U )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	stoweidlem50 40267	. . 3 |- ( ph -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
17		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ t u e. Fin
18		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ t u
19		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ t ( h ` Z ) = 0
20		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
21	19, 20	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) )
22		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t A
23	21, 22	nfrab 3123	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
24	4, 23	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t Q
25		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t { t e. T | 0 < ( h ` t ) }
26	25	nfeq2 2780	. . . . . . . . . 10 |- F/ t w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) }
27	24, 26	nfrex 3007	. . . . . . . . 9 |- F/ t E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) }
28		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ t J
29	27, 28	nfrab 3123	. . . . . . . 8 |- F/_ t { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
30	5, 29	nfcxfr 2762	. . . . . . 7 |- F/_ t W
31	18, 30	nfss 3596	. . . . . 6 |- F/ t u C_ W
32		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ t T
33	32, 1	nfdif 3731	. . . . . . 7 |- F/_ t ( T \ U )
34		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ t U. u
35	33, 34	nfss 3596	. . . . . 6 |- F/ t ( T \ U ) C_ U. u
36	17, 31, 35	nf3an 1831	. . . . 5 |- F/ t ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u )
37	2, 36	nfan 1828	. . . 4 |- F/ t ( ph /\ ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
38		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ w ph
39		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ w u e. Fin
40		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ w u
41		nfrab1 3122	. . . . . . . 8 |- F/_ w { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
42	5, 41	nfcxfr 2762	. . . . . . 7 |- F/_ w W
43	40, 42	nfss 3596	. . . . . 6 |- F/ w u C_ W
44		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ w ( T \ U ) C_ U. u
45	39, 43, 44	nf3an 1831	. . . . 5 |- F/ w ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u )
46	38, 45	nfan 1828	. . . 4 |- F/ w ( ph /\ ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
47		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ h ph
48		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ h u e. Fin
49		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ h u
50		nfre1 3005	. . . . . . . . 9 |- F/ h E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) }
51		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ h J
52	50, 51	nfrab 3123	. . . . . . . 8 |- F/_ h { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
53	5, 52	nfcxfr 2762	. . . . . . 7 |- F/_ h W
54	49, 53	nfss 3596	. . . . . 6 |- F/ h u C_ W
55		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ h ( T \ U ) C_ U. u
56	48, 54, 55	nf3an 1831	. . . . 5 |- F/ h ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u )
57	47, 56	nfan 1828	. . . 4 |- F/ h ( ph /\ ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
58		eqid 2622	. . . 4 |- ( w e. u |-> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } ) = ( w e. u |-> { h e. Q | w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
59		cmptop 21198	. . . . . . . 8 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
60	8, 59	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
61		retop 22565	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
62	3, 61	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- K e. Top
63		cnfex 39187	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) e. _V )
64	60, 62, 63	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J Cn K ) e. _V )
65	9, 7	syl6sseq 3651	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
66	64, 65	ssexd 4805	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
67	66	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> A e. _V )
68		simpr1 1067	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u e. Fin )
69		simpr2 1068	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u C_ W )
70		simpr3 1069	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> ( T \ U ) C_ U. u )
71		stoweidlem53.15	. . . . 5 |- ( ph -> ( T \ U ) =/= (/) )
72	71	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> ( T \ U ) =/= (/) )
73	37, 46, 57, 4, 5, 58, 67, 68, 69, 70, 72	stoweidlem35 40252	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> E. m E. q ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) )
74	16, 73	exlimddv 1863	. 2 |- ( ph -> E. m E. q ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) )
75		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ i ph
76		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ i m e. NN
77		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ i q : ( 1 ... m ) --> Q
78		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( T \ U )
79		nfre1 3005	. . . . . . . . 9 |- F/ i E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t )
80	78, 79	nfral 2945	. . . . . . . 8 |- F/ i A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t )
81	77, 80	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ i ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) )
82	76, 81	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ i ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) )
83	75, 82	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ i ( ph /\ ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) )
84		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ t m e. NN
85		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ t q
86		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( 1 ... m )
87	85, 86, 24	nff 6041	. . . . . . . 8 |- F/ t q : ( 1 ... m ) --> Q
88		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t )
89	87, 88	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ t ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) )
90	84, 89	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ t ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) )
91	2, 90	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ t ( ph /\ ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) )
92		eqid 2622	. . . . 5 |- ( t e. T |-> ( ( 1 / m ) x. sum_ y e. ( 1 ... m ) ( ( q ` y ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( 1 / m ) x. sum_ y e. ( 1 ... m ) ( ( q ` y ) ` t ) ) )
93		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) ) -> m e. NN )
94		simprrl 804	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) ) -> q : ( 1 ... m ) --> Q )
95		simprrr 805	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) )
96	65	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) ) -> A C_ ( J Cn K ) )
97	10	3adant1r 1319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
98	11	3adant1r 1319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
99	12	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
100		elssuni 4467	. . . . . . . . 9 |- ( U e. J -> U C_ U. J )
101	100, 6	syl6sseqr 3652	. . . . . . . 8 |- ( U e. J -> U C_ T )
102	14, 101	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ T )
103	102, 15	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. T )
104	103	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) ) -> Z e. T )
105	83, 91, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 6, 96, 97, 98, 99, 104	stoweidlem44 40261	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )
106	105	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) )
107	106	exlimdvv 1862	. 2 |- ( ph -> ( E. m E. q ( m e. NN /\ ( q : ( 1 ... m ) --> Q /\ A. t e. ( T \ U ) E. i e. ( 1 ... m ) 0 < ( ( q ` i ) ` t ) ) ) -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) ) )
108	74, 107	mpd 15	1 |- ( ph -> E. p e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( p ` t ) /\ ( p ` t ) <_ 1 ) /\ ( p ` Z ) = 0 /\ A. t e. ( T \ U ) 0 < ( p ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   sum_csu 14416   topGenctg 16098   Topctop 20698   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  stoweidlem55  40272