Theorem cntzsubm 17768

Description: Centralizers in a monoid are submonoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzrec.b	|- B = ( Base ` M )
cntzrec.z	|- Z = (Cntz ` M )

Assertion

Ref	Expression
cntzsubm	|- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) )

Proof of Theorem cntzsubm

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzrec.b	. . . 4 |- B = ( Base ` M )
2		cntzrec.z	. . . 4 |- Z = (Cntz ` M )
3	1, 2	cntzssv 17761	. . 3 |- ( Z ` S ) C_ B
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) C_ B )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
6	1, 5	mndidcl 17308	. . . 4 |- ( M e. Mnd -> ( 0g ` M ) e. B )
7	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( 0g ` M ) e. B )
8		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ x e. S ) -> M e. Mnd )
9		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> S C_ B )
10	9	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ x e. S ) -> x e. B )
11		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
12	1, 11, 5	mndlid 17311	. . . . . 6 |- ( ( M e. Mnd /\ x e. B ) -> ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) x ) = x )
13	8, 10, 12	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ x e. S ) -> ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) x ) = x )
14	1, 11, 5	mndrid 17312	. . . . . 6 |- ( ( M e. Mnd /\ x e. B ) -> ( x ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) = x )
15	8, 10, 14	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ x e. S ) -> ( x ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) = x )
16	13, 15	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ x e. S ) -> ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) )
17	16	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> A. x e. S ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) )
18	1, 11, 2	elcntz 17755	. . . 4 |- ( S C_ B -> ( ( 0g ` M ) e. ( Z ` S ) <-> ( ( 0g ` M ) e. B /\ A. x e. S ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) ) ) )
19	18	adantl 482	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( ( 0g ` M ) e. ( Z ` S ) <-> ( ( 0g ` M ) e. B /\ A. x e. S ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) ) ) )
20	7, 17, 19	mpbir2and 957	. 2 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( 0g ` M ) e. ( Z ` S ) )
21		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> M e. Mnd )
22		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> y e. ( Z ` S ) )
23	3, 22	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> y e. B )
24		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> z e. ( Z ` S ) )
25	3, 24	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> z e. B )
26	1, 11	mndcl 17301	. . . . 5 |- ( ( M e. Mnd /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` M ) z ) e. B )
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> ( y ( +g ` M ) z ) e. B )
28	21	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> M e. Mnd )
29	23	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> y e. B )
30	25	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> z e. B )
31	10	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> x e. B )
32	1, 11	mndass 17302	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ ( y e. B /\ z e. B /\ x e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( y ( +g ` M ) ( z ( +g ` M ) x ) ) )
33	28, 29, 30, 31, 32	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( y ( +g ` M ) ( z ( +g ` M ) x ) ) )
34	11, 2	cntzi 17762	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( Z ` S ) /\ x e. S ) -> ( z ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) z ) )
35	24, 34	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( z ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) z ) )
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( y ( +g ` M ) ( z ( +g ` M ) x ) ) = ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) z ) ) )
37	1, 11	mndass 17302	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. Mnd /\ ( y e. B /\ x e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) z ) = ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) z ) ) )
38	28, 29, 31, 30, 37	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) z ) = ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) z ) ) )
39	11, 2	cntzi 17762	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( Z ` S ) /\ x e. S ) -> ( y ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
40	22, 39	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( y ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) z ) = ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) )
42	36, 38, 41	3eqtr2d 2662	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( y ( +g ` M ) ( z ( +g ` M ) x ) ) = ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) )
43	1, 11	mndass 17302	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
44	28, 31, 29, 30, 43	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
45	33, 42, 44	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
46	45	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> A. x e. S ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) )
47	1, 11, 2	elcntz 17755	. . . . 5 |- ( S C_ B -> ( ( y ( +g ` M ) z ) e. ( Z ` S ) <-> ( ( y ( +g ` M ) z ) e. B /\ A. x e. S ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) ) )
48	47	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> ( ( y ( +g ` M ) z ) e. ( Z ` S ) <-> ( ( y ( +g ` M ) z ) e. B /\ A. x e. S ( ( y ( +g ` M ) z ) ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) ) )
49	27, 46, 48	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) /\ ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. ( Z ` S ) ) ) -> ( y ( +g ` M ) z ) e. ( Z ` S ) )
50	49	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> A. y e. ( Z ` S ) A. z e. ( Z ` S ) ( y ( +g ` M ) z ) e. ( Z ` S ) )
51	1, 5, 11	issubm 17347	. . 3 |- ( M e. Mnd -> ( ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) <-> ( ( Z ` S ) C_ B /\ ( 0g ` M ) e. ( Z ` S ) /\ A. y e. ( Z ` S ) A. z e. ( Z ` S ) ( y ( +g ` M ) z ) e. ( Z ` S ) ) ) )
52	51	adantr 481	. 2 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) <-> ( ( Z ` S ) C_ B /\ ( 0g ` M ) e. ( Z ` S ) /\ A. y e. ( Z ` S ) A. z e. ( Z ` S ) ( y ( +g ` M ) z ) e. ( Z ` S ) ) ) )
53	4, 20, 50, 52	mpbir3and 1245	1 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334  Cntzccntz 17748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750

This theorem is referenced by:  cntzsubg  17769  cntzspan  18247  dprdfadd  18419  cntzsubr  18812