Theorem mndidcl 17308

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	|- B = ( Base ` G )
mndidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	|- ( G e. Mnd -> .0. e. B )

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		mndidcl.o	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2622	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4	1, 3	mndid 17303	. 2 |- ( G e. Mnd -> E. x e. B A. y e. B ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) )
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 17265	1 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295

This theorem is referenced by:  mndpfo  17314  prdsidlem  17322  imasmnd  17328  idmhm  17344  mhmf1o  17345  issubmd  17349  submid  17351  0mhm  17358  mhmco  17362  mhmeql  17364  submacs  17365  mrcmndind  17366  prdspjmhm  17367  pwsdiagmhm  17369  pwsco1mhm  17370  pwsco2mhm  17371  gsumvallem2  17372  dfgrp2  17447  grpidcl  17450  mhmid  17536  mhmmnd  17537  mulgnn0cl  17558  mulgnn0z  17567  cntzsubm  17768  oppgmnd  17784  gex1  18006  mulgnn0di  18231  mulgmhm  18233  subcmn  18242  gsumval3  18308  gsumzcl2  18311  gsumzaddlem  18321  gsumzsplit  18327  gsumzmhm  18337  gsummpt1n0  18364  srgidcl  18518  srg0cl  18519  ringidcl  18568  gsummgp0  18608  pwssplit1  19059  dsmm0cl  20084  dsmmacl  20085  mndvlid  20199  mndvrid  20200  mdet0  20412  mndifsplit  20442  gsummatr01lem3  20463  pmatcollpw3fi1lem1  20591  tmdmulg  21896  tmdgsum  21899  tsms0  21945  tsmssplit  21955  tsmsxp  21958  submomnd  29710  omndmul2  29712  omndmul3  29713  omndmul  29714  ogrpinv0le  29716  slmdbn0  29761  slmdsn0  29764  slmd0vcl  29774  gsumle  29779  sibf0  30396  sitmcl  30413  pwssplit4  37659  c0mgm  41909  c0mhm  41910  c0snmgmhm  41914  c0snmhm  41915  mgpsumz  42141  mndpsuppss  42152  lco0  42216