Theorem cntzsubr 18812

Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsubr.b	|- B = ( Base ` R )
cntzsubr.m	|- M = (mulGrp ` R )
cntzsubr.z	|- Z = (Cntz ` M )

Assertion

Ref	Expression
cntzsubr	|- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubRing ` R ) )

Proof of Theorem cntzsubr

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzsubr.m	. . . . . 6 |- M = (mulGrp ` R )
2		cntzsubr.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
3	1, 2	mgpbas 18495	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
4		cntzsubr.z	. . . . 5 |- Z = (Cntz ` M )
5	3, 4	cntzssv 17761	. . . 4 |- ( Z ` S ) C_ B
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) C_ B )
7		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ z e. S ) -> R e. Ring )
8		ssel2 3598	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ B /\ z e. S ) -> z e. B )
9	8	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ z e. S ) -> z e. B )
10		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
11		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
12	2, 10, 11	ringlz 18587	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ z e. B ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) z ) = ( 0g ` R ) )
13	7, 9, 12	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ z e. S ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) z ) = ( 0g ` R ) )
14	2, 10, 11	ringrz 18588	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ z e. B ) -> ( z ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
15	7, 9, 14	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ z e. S ) -> ( z ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
16	13, 15	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ z e. S ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) )
17	16	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> A. z e. S ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) )
18		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> S C_ B )
19	2, 11	ring0cl 18569	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. B )
20	19	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> ( 0g ` R ) e. B )
21	1, 10	mgpplusg 18493	. . . . . . 7 |- ( .r ` R ) = ( +g ` M )
22	3, 21, 4	cntzel 17756	. . . . . 6 |- ( ( S C_ B /\ ( 0g ` R ) e. B ) -> ( ( 0g ` R ) e. ( Z ` S ) <-> A. z e. S ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) ) )
23	18, 20, 22	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> ( ( 0g ` R ) e. ( Z ` S ) <-> A. z e. S ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) ) )
24	17, 23	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> ( 0g ` R ) e. ( Z ` S ) )
25		ne0i 3921	. . . 4 |- ( ( 0g ` R ) e. ( Z ` S ) -> ( Z ` S ) =/= (/) )
26	24, 25	syl 17	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) =/= (/) )
27		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> x e. ( Z ` S ) )
28		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> z e. S )
29	21, 4	cntzi 17762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( Z ` S ) /\ z e. S ) -> ( x ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) x ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> ( x ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) x ) )
31		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> y e. ( Z ` S ) )
32	21, 4	cntzi 17762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ( Z ` S ) /\ z e. S ) -> ( y ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) y ) )
33	31, 28, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> ( y ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) y ) )
34	30, 33	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) = ( ( z ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
35		simpl1l 1112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> R e. Ring )
36	5, 27	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> x e. B )
37	5, 31	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> y e. B )
38		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) -> S C_ B )
39	38	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> z e. B )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
41	2, 40, 10	ringdir 18567	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) )
42	35, 36, 37, 39, 41	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) )
43	2, 40, 10	ringdi 18566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( z e. B /\ x e. B /\ y e. B ) ) -> ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( z ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
44	35, 39, 36, 37, 43	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( z ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
45	34, 42, 44	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) )
46	45	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) -> A. z e. S ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) )
47		simp1l 1085	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) -> R e. Ring )
48		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) -> x e. ( Z ` S ) )
49	5, 48	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) -> x e. B )
50		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) -> y e. ( Z ` S ) )
51	5, 50	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) -> y e. B )
52	2, 40	ringacl 18578	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. B )
53	47, 49, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. B )
54	3, 21, 4	cntzel 17756	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ B /\ ( x ( +g ` R ) y ) e. B ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Z ` S ) <-> A. z e. S ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) ) )
55	38, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Z ` S ) <-> A. z e. S ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) ) )
56	46, 55	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) /\ y e. ( Z ` S ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Z ` S ) )
57	56	3expa 1265	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) /\ y e. ( Z ` S ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Z ` S ) )
58	57	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> A. y e. ( Z ` S ) ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Z ` S ) )
59	29	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> ( x ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) x ) )
60	59	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> ( ( invg ` R ) ` ( x ( .r ` R ) z ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( z ( .r ` R ) x ) ) )
61		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
62		simplll 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> R e. Ring )
63		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> x e. ( Z ` S ) )
64	5, 63	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> x e. B )
65		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> S C_ B )
66	65	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> z e. B )
67	2, 10, 61, 62, 64, 66	ringmneg1 18596	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( invg ` R ) ` x ) ( .r ` R ) z ) = ( ( invg ` R ) ` ( x ( .r ` R ) z ) ) )
68	2, 10, 61, 62, 66, 64	ringmneg2 18597	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> ( z ( .r ` R ) ( ( invg ` R ) ` x ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( z ( .r ` R ) x ) ) )
69	60, 67, 68	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( invg ` R ) ` x ) ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( ( invg ` R ) ` x ) ) )
70	69	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> A. z e. S ( ( ( invg ` R ) ` x ) ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( ( invg ` R ) ` x ) ) )
71		ringgrp 18552	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
72	71	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> R e. Grp )
73		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> x e. ( Z ` S ) )
74	5, 73	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> x e. B )
75	2, 61	grpinvcl 17467	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( invg ` R ) ` x ) e. B )
76	72, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> ( ( invg ` R ) ` x ) e. B )
77	3, 21, 4	cntzel 17756	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ B /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. B ) -> ( ( ( invg ` R ) ` x ) e. ( Z ` S ) <-> A. z e. S ( ( ( invg ` R ) ` x ) ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( ( invg ` R ) ` x ) ) ) )
78	65, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> ( ( ( invg ` R ) ` x ) e. ( Z ` S ) <-> A. z e. S ( ( ( invg ` R ) ` x ) ( .r ` R ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( ( invg ` R ) ` x ) ) ) )
79	70, 78	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> ( ( invg ` R ) ` x ) e. ( Z ` S ) )
80	58, 79	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> ( A. y e. ( Z ` S ) ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Z ` S ) /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. ( Z ` S ) ) )
81	80	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> A. x e. ( Z ` S ) ( A. y e. ( Z ` S ) ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Z ` S ) /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. ( Z ` S ) ) )
82	71	adantr 481	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> R e. Grp )
83	2, 40, 61	issubg2 17609	. . . 4 |- ( R e. Grp -> ( ( Z ` S ) e. (SubGrp ` R ) <-> ( ( Z ` S ) C_ B /\ ( Z ` S ) =/= (/) /\ A. x e. ( Z ` S ) ( A. y e. ( Z ` S ) ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Z ` S ) /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. ( Z ` S ) ) ) ) )
84	82, 83	syl 17	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> ( ( Z ` S ) e. (SubGrp ` R ) <-> ( ( Z ` S ) C_ B /\ ( Z ` S ) =/= (/) /\ A. x e. ( Z ` S ) ( A. y e. ( Z ` S ) ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Z ` S ) /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. ( Z ` S ) ) ) ) )
85	6, 26, 81, 84	mpbir3and 1245	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubGrp ` R ) )
86	1	ringmgp 18553	. . 3 |- ( R e. Ring -> M e. Mnd )
87	3, 4	cntzsubm 17768	. . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) )
88	86, 87	sylan 488	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) )
89	1	issubrg3 18808	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( Z ` S ) e. (SubRing ` R ) <-> ( ( Z ` S ) e. (SubGrp ` R ) /\ ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) ) ) )
90	89	adantr 481	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> ( ( Z ` S ) e. (SubRing ` R ) <-> ( ( Z ` S ) e. (SubGrp ` R ) /\ ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) ) ) )
91	85, 88, 90	mpbir2and 957	1 |- ( ( R e. Ring /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubRing ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547  SubRingcsubrg 18776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778

This theorem is referenced by:  cntzsdrg  37772