Theorem mndcl 17301

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	|- B = ( Base ` G )
mndcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndcl	|- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 17300	. 2 |- ( G e. Mnd -> G e. Mgm )
2		mndcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		mndcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	mgmcl 17245	. 2 |- ( ( G e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
5	1, 4	syl3an1 1359	1 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240   Mndcmnd 17294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295

This theorem is referenced by:  mnd4g  17307  mndpropd  17316  issubmnd  17318  prdsplusgcl  17321  imasmnd  17328  idmhm  17344  mhmf1o  17345  issubmd  17349  0mhm  17358  mhmco  17362  mhmeql  17364  submacs  17365  mrcmndind  17366  prdspjmhm  17367  pwsdiagmhm  17369  pwsco1mhm  17370  pwsco2mhm  17371  gsumccat  17378  gsumwmhm  17382  grpcl  17430  mhmmnd  17537  mulgnnclOLD  17557  mulgnn0cl  17558  mulgnndirOLD  17570  cntzsubm  17768  oppgmnd  17784  lsmssv  18058  frgp0  18173  frgpadd  18176  mulgnn0di  18231  mulgmhm  18233  gsumval3eu  18305  gsumval3  18308  gsumzcl2  18311  gsumzaddlem  18321  gsumzmhm  18337  gsummptfzcl  18368  srgcl  18512  srgacl  18524  srgbinomlem  18544  srgbinom  18545  ringcl  18561  ringpropd  18582  mndvcl  20197  mhmvlin  20203  mat2pmatghm  20535  pm2mpghm  20621  cpmadugsumlemF  20681  tsmsadd  21950  omndadd2d  29708  omndadd2rd  29709  slmdacl  29762  slmdvacl  29765  gsumncl  30614  c0mhm  41910  ofaddmndmap  42122  lincsum  42218