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Theorem cntzsubg 17769
Description: Centralizers in a group are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b |- B = ( Base ` M )
cntzrec.z |- Z = (Cntz ` M )
Assertion
Ref Expression
cntzsubg |- ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubGrp ` M ) )
Proof of Theorem cntzsubg
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpmnd 17429 . . 3 |- ( M e. Grp -> M e. Mnd )
2 cntzrec.b . . . 4 |- B = ( Base ` M )
3 cntzrec.z . . . 4 |- Z = (Cntz ` M )
42, 3cntzsubm 17768 . . 3 |- ( ( M e. Mnd /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) )
51, 4sylan 488 . 2 |- ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) )
6 simpll 790 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> M e. Grp )
72, 3cntzssv 17761 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z ` S ) C_ B
8 simprl 794 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> x e. ( Z ` S ) )
97, 8sseldi 3601 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> x e. B )
10 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
112, 10grpinvcl 17467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( invg ` M ) ` x ) e. B )
126, 9, 11syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( invg ` M ) ` x ) e. B )
13 ssel2 3598 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ B /\ y e. S ) -> y e. B )
1413ad2ant2l 782 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> y e. B )
15 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
162, 15grpcl 17430 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. Grp /\ x e. B /\ ( ( invg ` M ) ` x ) e. B ) -> ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) e. B )
176, 9, 12, 16syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) e. B )
182, 15grpass 17431 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. Grp /\ ( ( ( invg ` M ) ` x ) e. B /\ y e. B /\ ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) ) )
196, 12, 14, 17, 18syl13anc 1328 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) ) )
202, 15grpass 17431 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. Grp /\ ( y e. B /\ x e. B /\ ( ( invg ` M ) ` x ) e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) = ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
216, 14, 9, 12, 20syl13anc 1328 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) = ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
2221oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) ) )
2319, 22eqtr4d 2659 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
2415, 3cntzi 17762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) -> ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) )
2524adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) )
2625oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) = ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) )
2726oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( ( y ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
2823, 27eqtr4d 2659 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
292, 15grpcl 17430 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. Grp /\ y e. B /\ ( ( invg ` M ) ` x ) e. B ) -> ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) e. B )
306, 14, 12, 29syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) e. B )
312, 15grpass 17431 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. Grp /\ ( ( ( invg ` M ) ` x ) e. B /\ x e. B /\ ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) ) )
326, 12, 9, 30, 31syl13anc 1328 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) ) )
332, 15grpass 17431 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B /\ ( ( invg ` M ) ` x ) e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
346, 9, 14, 12, 33syl13anc 1328 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
3534oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) ) )
3632, 35eqtr4d 2659 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
3728, 36eqtr4d 2659 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
38 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
392, 15, 38, 10grprinv 17469 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. Grp /\ x e. B ) -> ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) = ( 0g ` M ) )
406, 9, 39syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) = ( 0g ` M ) )
4140oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) )
422, 15grpcl 17430 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. Grp /\ ( ( invg ` M ) ` x ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) e. B )
436, 12, 14, 42syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) e. B )
442, 15, 38grprid 17453 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. Grp /\ ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) e. B ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) )
456, 43, 44syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( 0g ` M ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) )
4641, 45eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) ( x ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) )
472, 15, 38, 10grplinv 17468 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) = ( 0g ` M ) )
486, 9, 47syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) = ( 0g ` M ) )
4948oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
502, 15, 38grplid 17452 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. Grp /\ ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) e. B ) -> ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) )
516, 30, 50syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( 0g ` M ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) )
5249, 51eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) x ) ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) )
5337, 46, 523eqtr3d 2664 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ ( x e. ( Z ` S ) /\ y e. S ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) )
5453anassrs 680 . . . . 5 |- ( ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) /\ y e. S ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) )
5554ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> A. y e. S ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) )
56 simplr 792 . . . . 5 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> S C_ B )
57 simpll 790 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> M e. Grp )
58 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> x e. ( Z ` S ) )
597, 58sseldi 3601 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> x e. B )
6057, 59, 11syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> ( ( invg ` M ) ` x ) e. B )
612, 15, 3cntzel 17756 . . . . 5 |- ( ( S C_ B /\ ( ( invg ` M ) ` x ) e. B ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) e. ( Z ` S ) <-> A. y e. S ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
6256, 60, 61syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` x ) e. ( Z ` S ) <-> A. y e. S ( ( ( invg ` M ) ` x ) ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) ( ( invg ` M ) ` x ) ) ) )
6355, 62mpbird 247 . . 3 |- ( ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) /\ x e. ( Z ` S ) ) -> ( ( invg ` M ) ` x ) e. ( Z ` S ) )
6463ralrimiva 2966 . 2 |- ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) -> A. x e. ( Z ` S ) ( ( invg ` M ) ` x ) e. ( Z ` S ) )
6510issubg3 17612 . . 3 |- ( M e. Grp -> ( ( Z ` S ) e. (SubGrp ` M ) <-> ( ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) /\ A. x e. ( Z ` S ) ( ( invg ` M ) ` x ) e. ( Z ` S ) ) ) )
6665adantr 481 . 2 |- ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) -> ( ( Z ` S ) e. (SubGrp ` M ) <-> ( ( Z ` S ) e. (SubMnd ` M ) /\ A. x e. ( Z ` S ) ( ( invg ` M ) ` x ) e. ( Z ` S ) ) ) )
675, 64, 66mpbir2and 957 1 |- ( ( M e. Grp /\ S C_ B ) -> ( Z ` S ) e. (SubGrp ` M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cntz 17750
This theorem is referenced by:  cntrnsg  17774  lsmcntz  18092  dprdz  18429  dprdcntz2  18437  dmdprdsplit2lem  18444  cntzsdrg  37772
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