Theorem csbrdgg 33175

Description: Move class substitution in and out of the recursive function generator. (Contributed by ML, 25-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
csbrdgg	|- ( A e. V -> [_ A / x ]_ rec ( F , I ) = rec ( [_ A / x ]_ F , [_ A / x ]_ I ) )

Proof of Theorem csbrdgg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbrecsg 33174	. . 3 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_recs ( ( g e. _V |-> if ( g = (/) , I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) ) = recs ( [_ A / x ]_ ( g e. _V |-> if ( g = (/) , I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) ) )
2		csbmpt2 5011	. . . . 5 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ( g e. _V |-> if ( g = (/) , I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) = ( g e. _V |-> [_ A / x ]_ if ( g = (/) , I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) )
3		csbif 4138	. . . . . . 7 |- [_ A / x ]_ if ( g = (/) , I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) = if ( [. A / x ]. g = (/) , [_ A / x ]_ I , [_ A / x ]_ if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) )
4		sbcg 3503	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. g = (/) <-> g = (/) ) )
5		csbif 4138	. . . . . . . . 9 |- [_ A / x ]_ if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) = if ( [. A / x ]. Lim dom g , [_ A / x ]_ U. ran g , [_ A / x ]_ ( F ` ( g ` U. dom g ) ) )
6		sbcg 3503	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Lim dom g <-> Lim dom g ) )
7		csbconstg 3546	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ U. ran g = U. ran g )
8		csbfv12 6231	. . . . . . . . . . 11 |- [_ A / x ]_ ( F ` ( g ` U. dom g ) ) = ( [_ A / x ]_ F ` [_ A / x ]_ ( g ` U. dom g ) )
9		csbconstg 3546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ( g ` U. dom g ) = ( g ` U. dom g ) )
10	9	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( [_ A / x ]_ F ` [_ A / x ]_ ( g ` U. dom g ) ) = ( [_ A / x ]_ F ` ( g ` U. dom g ) ) )
11	8, 10	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ( F ` ( g ` U. dom g ) ) = ( [_ A / x ]_ F ` ( g ` U. dom g ) ) )
12	6, 7, 11	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> if ( [. A / x ]. Lim dom g , [_ A / x ]_ U. ran g , [_ A / x ]_ ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) = if ( Lim dom g , U. ran g , ( [_ A / x ]_ F ` ( g ` U. dom g ) ) ) )
13	5, 12	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) = if ( Lim dom g , U. ran g , ( [_ A / x ]_ F ` ( g ` U. dom g ) ) ) )
14	4, 13	ifbieq2d 4111	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> if ( [. A / x ]. g = (/) , [_ A / x ]_ I , [_ A / x ]_ if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) = if ( g = (/) , [_ A / x ]_ I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( [_ A / x ]_ F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) )
15	3, 14	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ if ( g = (/) , I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) = if ( g = (/) , [_ A / x ]_ I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( [_ A / x ]_ F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) )
16	15	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( g e. _V |-> [_ A / x ]_ if ( g = (/) , I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) = ( g e. _V |-> if ( g = (/) , [_ A / x ]_ I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( [_ A / x ]_ F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) )
17	2, 16	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ( g e. _V |-> if ( g = (/) , I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) = ( g e. _V |-> if ( g = (/) , [_ A / x ]_ I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( [_ A / x ]_ F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) )
18		recseq 7470	. . . 4 |- ( [_ A / x ]_ ( g e. _V |-> if ( g = (/) , I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) = ( g e. _V |-> if ( g = (/) , [_ A / x ]_ I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( [_ A / x ]_ F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) -> recs ( [_ A / x ]_ ( g e. _V |-> if ( g = (/) , I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) ) = recs ( ( g e. _V |-> if ( g = (/) , [_ A / x ]_ I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( [_ A / x ]_ F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) ) )
19	17, 18	syl 17	. . 3 |- ( A e. V -> recs ( [_ A / x ]_ ( g e. _V |-> if ( g = (/) , I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) ) = recs ( ( g e. _V |-> if ( g = (/) , [_ A / x ]_ I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( [_ A / x ]_ F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) ) )
20	1, 19	eqtrd 2656	. 2 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_recs ( ( g e. _V |-> if ( g = (/) , I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) ) = recs ( ( g e. _V |-> if ( g = (/) , [_ A / x ]_ I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( [_ A / x ]_ F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) ) )
21		df-rdg 7506	. . 3 |- rec ( F , I ) = recs ( ( g e. _V |-> if ( g = (/) , I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) )
22	21	csbeq2i 3993	. 2 |- [_ A / x ]_ rec ( F , I ) = [_ A / x ]_recs ( ( g e. _V |-> if ( g = (/) , I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) )
23		df-rdg 7506	. 2 |- rec ( [_ A / x ]_ F , [_ A / x ]_ I ) = recs ( ( g e. _V |-> if ( g = (/) , [_ A / x ]_ I , if ( Lim dom g , U. ran g , ( [_ A / x ]_ F ` ( g ` U. dom g ) ) ) ) ) )
24	20, 22, 23	3eqtr4g 2681	1 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ rec ( F , I ) = rec ( [_ A / x ]_ F , [_ A / x ]_ I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   [_csb 3533   (/)c0 3915   ifcif 4086   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Lim wlim 5724   ` cfv 5888  recscrecs 7467   reccrdg 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fv 5896  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506

This theorem is referenced by:  csbfinxpg  33225