Theorem cshnz 13538

Description: A cyclical shift is the empty set if the number of shifts is not an integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.) (Revised by AV, 17-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshnz	|- ( -. N e. ZZ -> ( W cyclShift N ) = (/) )

Proof of Theorem cshnz

Dummy variables f l n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csh 13535	. . 3 |- cyclShift = ( w e. { f | E. l e. NN0 f Fn ( 0..^ l ) } , n e. ZZ |-> if ( w = (/) , (/) , ( ( w substr <. ( n mod ( # ` w ) ) , ( # ` w ) >. ) ++ ( w substr <. 0 , ( n mod ( # ` w ) ) >. ) ) ) )
2		0ex 4790	. . . 4 |- (/) e. _V
3		ovex 6678	. . . 4 |- ( ( w substr <. ( n mod ( # ` w ) ) , ( # ` w ) >. ) ++ ( w substr <. 0 , ( n mod ( # ` w ) ) >. ) ) e. _V
4	2, 3	ifex 4156	. . 3 |- if ( w = (/) , (/) , ( ( w substr <. ( n mod ( # ` w ) ) , ( # ` w ) >. ) ++ ( w substr <. 0 , ( n mod ( # ` w ) ) >. ) ) ) e. _V
5	1, 4	dmmpt2 7240	. 2 |- dom cyclShift = ( { f | E. l e. NN0 f Fn ( 0..^ l ) } X. ZZ )
6		id 22	. . 3 |- ( -. N e. ZZ -> -. N e. ZZ )
7	6	intnand 962	. 2 |- ( -. N e. ZZ -> -. ( W e. { f | E. l e. NN0 f Fn ( 0..^ l ) } /\ N e. ZZ ) )
8		ndmovg 6817	. 2 |- ( ( dom cyclShift = ( { f | E. l e. NN0 f Fn ( 0..^ l ) } X. ZZ ) /\ -. ( W e. { f | E. l e. NN0 f Fn ( 0..^ l ) } /\ N e. ZZ ) ) -> ( W cyclShift N ) = (/) )
9	5, 7, 8	sylancr 695	1 |- ( -. N e. ZZ -> ( W cyclShift N ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   (/)c0 3915   ifcif 4086   <.cop 4183   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668   #chash 13117   ++ cconcat 13293   substr csubstr 13295   cyclShift ccsh 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-csh 13535

This theorem is referenced by:  0csh0  13539  cshwcl  13544