Theorem 0csh0 13539

Description: Cyclically shifting an empty set/word always results in the empty word/set. (Contributed by AV, 25-Oct-2018.) (Revised by AV, 17-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0csh0	|- ( (/) cyclShift N ) = (/)

Proof of Theorem 0csh0

Dummy variables f l n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csh 13535	. . . 4 |- cyclShift = ( w e. { f | E. l e. NN0 f Fn ( 0..^ l ) } , n e. ZZ |-> if ( w = (/) , (/) , ( ( w substr <. ( n mod ( # ` w ) ) , ( # ` w ) >. ) ++ ( w substr <. 0 , ( n mod ( # ` w ) ) >. ) ) ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( N e. ZZ -> cyclShift = ( w e. { f | E. l e. NN0 f Fn ( 0..^ l ) } , n e. ZZ |-> if ( w = (/) , (/) , ( ( w substr <. ( n mod ( # ` w ) ) , ( # ` w ) >. ) ++ ( w substr <. 0 , ( n mod ( # ` w ) ) >. ) ) ) ) )
3		iftrue 4092	. . . 4 |- ( w = (/) -> if ( w = (/) , (/) , ( ( w substr <. ( n mod ( # ` w ) ) , ( # ` w ) >. ) ++ ( w substr <. 0 , ( n mod ( # ` w ) ) >. ) ) ) = (/) )
4	3	ad2antrl 764	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( w = (/) /\ n = N ) ) -> if ( w = (/) , (/) , ( ( w substr <. ( n mod ( # ` w ) ) , ( # ` w ) >. ) ++ ( w substr <. 0 , ( n mod ( # ` w ) ) >. ) ) ) = (/) )
5		0nn0 11307	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
6		f0 6086	. . . . . . 7 |- (/) : (/) --> _V
7		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( (/) : (/) --> _V -> (/) Fn (/) )
8		fzo0 12492	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ 0 ) = (/)
9	8	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- (/) = ( 0..^ 0 )
10	9	fneq2i 5986	. . . . . . . 8 |- ( (/) Fn (/) <-> (/) Fn ( 0..^ 0 ) )
11	7, 10	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( (/) : (/) --> _V -> (/) Fn ( 0..^ 0 ) )
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (/) Fn ( 0..^ 0 )
13		id 22	. . . . . . 7 |- ( 0 e. NN0 -> 0 e. NN0 )
14		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( l = 0 -> ( 0..^ l ) = ( 0..^ 0 ) )
15	14	fneq2d 5982	. . . . . . . 8 |- ( l = 0 -> ( (/) Fn ( 0..^ l ) <-> (/) Fn ( 0..^ 0 ) ) )
16	15	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. NN0 /\ l = 0 ) -> ( (/) Fn ( 0..^ l ) <-> (/) Fn ( 0..^ 0 ) ) )
17	13, 16	rspcedv 3313	. . . . . 6 |- ( 0 e. NN0 -> ( (/) Fn ( 0..^ 0 ) -> E. l e. NN0 (/) Fn ( 0..^ l ) ) )
18	5, 12, 17	mp2 9	. . . . 5 |- E. l e. NN0 (/) Fn ( 0..^ l )
19		0ex 4790	. . . . . 6 |- (/) e. _V
20		fneq1 5979	. . . . . . 7 |- ( f = (/) -> ( f Fn ( 0..^ l ) <-> (/) Fn ( 0..^ l ) ) )
21	20	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( f = (/) -> ( E. l e. NN0 f Fn ( 0..^ l ) <-> E. l e. NN0 (/) Fn ( 0..^ l ) ) )
22	19, 21	elab 3350	. . . . 5 |- ( (/) e. { f | E. l e. NN0 f Fn ( 0..^ l ) } <-> E. l e. NN0 (/) Fn ( 0..^ l ) )
23	18, 22	mpbir 221	. . . 4 |- (/) e. { f | E. l e. NN0 f Fn ( 0..^ l ) }
24	23	a1i 11	. . 3 |- ( N e. ZZ -> (/) e. { f | E. l e. NN0 f Fn ( 0..^ l ) } )
25		id 22	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
26	19	a1i 11	. . 3 |- ( N e. ZZ -> (/) e. _V )
27	2, 4, 24, 25, 26	ovmpt2d 6788	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( (/) cyclShift N ) = (/) )
28		cshnz 13538	. 2 |- ( -. N e. ZZ -> ( (/) cyclShift N ) = (/) )
29	27, 28	pm2.61i 176	1 |- ( (/) cyclShift N ) = (/)

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   <.cop 4183   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   0cc0 9936   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668   #chash 13117   ++ cconcat 13293   substr csubstr 13295   cyclShift ccsh 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-csh 13535

This theorem is referenced by:  cshw0  13540  cshwmodn  13541  cshwn  13543  cshwlen  13545  repswcshw  13558