Theorem cvlatcvr1 34628

Description: An atom is covered by its join with a different atom. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvlatcvr1.j	|- .\/ = ( join ` K )
cvlatcvr1.c	|- C = ( <o ` K )
cvlatcvr1.a	|- A = ( Atoms ` K )

Assertion

Ref	Expression
cvlatcvr1	|- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P =/= Q <-> P C ( P .\/ Q ) ) )

Proof of Theorem cvlatcvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp13 1093	. . . 4 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> K e. CvLat )
2		cvlatl 34612	. . . 4 |- ( K e. CvLat -> K e. AtLat )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> K e. AtLat )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( meet ` K ) = ( meet ` K )
5		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
6		cvlatcvr1.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
7	4, 5, 6	atnem0 34605	. . 3 |- ( ( K e. AtLat /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P =/= Q <-> ( P ( meet ` K ) Q ) = ( 0. ` K ) ) )
8	3, 7	syld3an1 1372	. 2 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P =/= Q <-> ( P ( meet ` K ) Q ) = ( 0. ` K ) ) )
9		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
10	9, 6	atbase 34576	. . 3 |- ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
11		cvlatcvr1.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
12		cvlatcvr1.c	. . . 4 |- C = ( <o ` K )
13	9, 11, 4, 5, 12, 6	cvlcvrp 34627	. . 3 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ P e. ( Base ` K ) /\ Q e. A ) -> ( ( P ( meet ` K ) Q ) = ( 0. ` K ) <-> P C ( P .\/ Q ) ) )
14	10, 13	syl3an2 1360	. 2 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( ( P ( meet ` K ) Q ) = ( 0. ` K ) <-> P C ( P .\/ Q ) ) )
15	8, 14	bitrd 268	1 |- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P =/= Q <-> P C ( P .\/ Q ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   joincjn 16944   meetcmee 16945   0.cp0 17037   CLatccla 17107   OMLcoml 34462   <o ccvr 34549   Atomscatm 34550   AtLatcal 34551   CvLatclc 34552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609

This theorem is referenced by:  cvlatcvr2  34629  atcvr1  34703