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Theorem dedekindle 10201
Description: The Dedekind cut theorem, with the hypothesis weakened to only require non-strict less than. (Contributed by Scott Fenton, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
dedekindle |- ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) )
Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z
Proof of Theorem dedekindle
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1067 . . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) ) -> A C_ RR )
2 simpr2 1068 . . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) ) -> B C_ RR )
3 simp1 1061 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ A C_ RR /\ B C_ RR ) -> ( A i^i B ) = (/) )
4 simpl 473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x e. A )
5 disjel 4023 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. A ) -> -. x e. B )
63, 4, 5syl2an 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> -. x e. B )
7 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( y e. B <-> x e. B ) )
87biimpcd 239 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. B -> ( y = x -> x e. B ) )
98necon3bd 2808 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. B -> ( -. x e. B -> y =/= x ) )
109ad2antll 765 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( -. x e. B -> y =/= x ) )
116, 10mpd 15 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> y =/= x )
12 simp2 1062 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ A C_ RR /\ B C_ RR ) -> A C_ RR )
13 ssel2 3598 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ x e. A ) -> x e. RR )
1412, 4, 13syl2an 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> x e. RR )
15 simp3 1063 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ A C_ RR /\ B C_ RR ) -> B C_ RR )
16 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> y e. B )
17 ssel2 3598 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B C_ RR /\ y e. B ) -> y e. RR )
1815, 16, 17syl2an 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> y e. RR )
1914, 18ltlend 10182 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( x < y <-> ( x <_ y /\ y =/= x ) ) )
2019biimprd 238 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( x <_ y /\ y =/= x ) -> x < y ) )
2111, 20mpan2d 710 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( x <_ y -> x < y ) )
2221ralimdvva 2964 . . . . . 6 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ A C_ RR /\ B C_ RR ) -> ( A. x e. A A. y e. B x <_ y -> A. x e. A A. y e. B x < y ) )
23223exp 1264 . . . . 5 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( A C_ RR -> ( B C_ RR -> ( A. x e. A A. y e. B x <_ y -> A. x e. A A. y e. B x < y ) ) ) )
24233imp2 1282 . . . 4 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) ) -> A. x e. A A. y e. B x < y )
25 dedekind 10200 . . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) )
261, 2, 24, 25syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) )
2726ex 450 . 2 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) ) )
28 n0 3931 . . 3 |- ( ( A i^i B ) =/= (/) <-> E. w w e. ( A i^i B ) )
29 simp1 1061 . . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) -> A C_ RR )
30 inss1 3833 . . . . . . . 8 |- ( A i^i B ) C_ A
3130sseli 3599 . . . . . . 7 |- ( w e. ( A i^i B ) -> w e. A )
32 ssel2 3598 . . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ w e. A ) -> w e. RR )
3329, 31, 32syl2an 494 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) /\ w e. ( A i^i B ) ) -> w e. RR )
34 nfv 1843 . . . . . . . . 9 |- F/ x A C_ RR
35 nfv 1843 . . . . . . . . 9 |- F/ x B C_ RR
36 nfra1 2941 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. x e. A A. y e. B x <_ y
3734, 35, 36nf3an 1831 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y )
38 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ x w e. ( A i^i B )
3937, 38nfan 1828 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) /\ w e. ( A i^i B ) )
40 nfv 1843 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y A C_ RR
41 nfv 1843 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y B C_ RR
42 nfra2 2946 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. x e. A A. y e. B x <_ y
4340, 41, 42nf3an 1831 . . . . . . . . . 10 |- F/ y ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y )
44 nfv 1843 . . . . . . . . . 10 |- F/ y ( w e. ( A i^i B ) /\ x e. A )
4543, 44nfan 1828 . . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) /\ ( w e. ( A i^i B ) /\ x e. A ) )
46 rsp 2929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. A A. y e. B x <_ y -> ( x e. A -> A. y e. B x <_ y ) )
47 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A i^i B ) C_ B
4847sseli 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. ( A i^i B ) -> w e. B )
49 breq2 4657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = w -> ( x <_ y <-> x <_ w ) )
5049rspccv 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. y e. B x <_ y -> ( w e. B -> x <_ w ) )
5148, 50syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. B x <_ y -> ( w e. ( A i^i B ) -> x <_ w ) )
5246, 51syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. A A. y e. B x <_ y -> ( x e. A -> ( w e. ( A i^i B ) -> x <_ w ) ) )
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. A A. y e. B x <_ y -> ( w e. ( A i^i B ) -> ( x e. A -> x <_ w ) ) )
5453imp32 449 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. A A. y e. B x <_ y /\ ( w e. ( A i^i B ) /\ x e. A ) ) -> x <_ w )
55543ad2antl3 1225 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) /\ ( w e. ( A i^i B ) /\ x e. A ) ) -> x <_ w )
5655adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) /\ ( w e. ( A i^i B ) /\ x e. A ) ) /\ y e. B ) -> x <_ w )
57 simp3 1063 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) -> A. x e. A A. y e. B x <_ y )
5831adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ( A i^i B ) /\ x e. A ) -> w e. A )
59 breq1 4656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( x <_ y <-> w <_ y ) )
6059ralbidv 2986 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( A. y e. B x <_ y <-> A. y e. B w <_ y ) )
6160rspccva 3308 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. A A. y e. B x <_ y /\ w e. A ) -> A. y e. B w <_ y )
6257, 58, 61syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) /\ ( w e. ( A i^i B ) /\ x e. A ) ) -> A. y e. B w <_ y )
6362r19.21bi 2932 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) /\ ( w e. ( A i^i B ) /\ x e. A ) ) /\ y e. B ) -> w <_ y )
6456, 63jca 554 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) /\ ( w e. ( A i^i B ) /\ x e. A ) ) /\ y e. B ) -> ( x <_ w /\ w <_ y ) )
6564ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) /\ ( w e. ( A i^i B ) /\ x e. A ) ) -> ( y e. B -> ( x <_ w /\ w <_ y ) ) )
6645, 65ralrimi 2957 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) /\ ( w e. ( A i^i B ) /\ x e. A ) ) -> A. y e. B ( x <_ w /\ w <_ y ) )
6766expr 643 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) /\ w e. ( A i^i B ) ) -> ( x e. A -> A. y e. B ( x <_ w /\ w <_ y ) ) )
6839, 67ralrimi 2957 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) /\ w e. ( A i^i B ) ) -> A. x e. A A. y e. B ( x <_ w /\ w <_ y ) )
69 breq2 4657 . . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( x <_ z <-> x <_ w ) )
70 breq1 4656 . . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( z <_ y <-> w <_ y ) )
7169, 70anbi12d 747 . . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( ( x <_ z /\ z <_ y ) <-> ( x <_ w /\ w <_ y ) ) )
72712ralbidv 2989 . . . . . . 7 |- ( z = w -> ( A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x <_ w /\ w <_ y ) ) )
7372rspcev 3309 . . . . . 6 |- ( ( w e. RR /\ A. x e. A A. y e. B ( x <_ w /\ w <_ y ) ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) )
7433, 68, 73syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) /\ w e. ( A i^i B ) ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) )
7574expcom 451 . . . 4 |- ( w e. ( A i^i B ) -> ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) ) )
7675exlimiv 1858 . . 3 |- ( E. w w e. ( A i^i B ) -> ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) ) )
7728, 76sylbi 207 . 2 |- ( ( A i^i B ) =/= (/) -> ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) ) )
7827, 77pm2.61ine 2877 1 |- ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x <_ y ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080
This theorem is referenced by:  axcontlem10  25853
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