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Theorem dfconn2 21222
Description: An alternate definition of connectedness. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfconn2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Conn <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, J   x, X, y
Proof of Theorem dfconn2
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . . . 6 |- U. J = U. J
2 simpll 790 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Conn /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> J e. Conn )
3 simplrl 800 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Conn /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x e. J )
4 simpr1 1067 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Conn /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x =/= (/) )
5 simplrr 801 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Conn /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y e. J )
6 simpr2 1068 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Conn /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y =/= (/) )
7 simpr3 1069 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Conn /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x i^i y ) = (/) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7conndisj 21219 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Conn /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
98ex 450 . . . 4 |- ( ( J e. Conn /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
109ralrimivva 2971 . . 3 |- ( J e. Conn -> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
11 topontop 20718 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
121cldopn 20835 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ x ) e. J )
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ x ) e. J )
14 df-3an 1039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
15 ineq2 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x i^i y ) = ( x i^i ( U. J \ x ) ) )
16 disjdif 4040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x i^i ( U. J \ x ) ) = (/)
1715, 16syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x i^i y ) = (/) )
1817biantrud 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) )
19 neeq1 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( y =/= (/) <-> ( U. J \ x ) =/= (/) ) )
2019anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
2118, 20bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
2214, 21syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) ) )
23 uneq2 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x u. y ) = ( x u. ( U. J \ x ) ) )
24 undif2 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x u. ( U. J \ x ) ) = ( x u. U. J )
2523, 24syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( x u. y ) = ( x u. U. J ) )
2625neeq1d 2853 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( x u. y ) =/= U. J <-> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
2722, 26imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( U. J \ x ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) <-> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
2827rspcv 3305 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U. J \ x ) e. J -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
2913, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
301cldss 20833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ U. J )
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ U. J )
32 ssequn1 3783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ U. J <-> ( x u. U. J ) = U. J )
3331, 32sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( x u. U. J ) = U. J )
34 ssdif0 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. J C_ x <-> ( U. J \ x ) = (/) )
35 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> U. J C_ x ) )
3635, 31jctild 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> ( x C_ U. J /\ U. J C_ x ) ) )
37 eqss 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = U. J <-> ( x C_ U. J /\ U. J C_ x ) )
3836, 37syl6ibr 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J C_ x -> x = U. J ) )
3934, 38syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( U. J \ x ) = (/) -> x = U. J ) )
4033, 39embantd 59 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> x = U. J ) )
4140orim2d 885 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) -> ( x = (/) \/ x = U. J ) ) )
42 impexp 462 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) )
43 df-ne 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x =/= (/) <-> -. x = (/) )
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
4544necon4d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
46 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
4746necon3d 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) )
4845, 47impbii 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) )
4943, 48imbi12i 340 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) <-> ( -. x = (/) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
50 pm4.64 387 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. x = (/) -> ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
5149, 50bitri 264 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x =/= (/) -> ( ( U. J \ x ) =/= (/) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
5242, 51bitri 264 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) <-> ( x = (/) \/ ( ( x u. U. J ) = U. J -> ( U. J \ x ) = (/) ) ) )
53 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
5453elpr 4198 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { (/) , U. J } <-> ( x = (/) \/ x = U. J ) )
5541, 52, 543imtr4g 285 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ ( U. J \ x ) =/= (/) ) -> ( x u. U. J ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
5629, 55syld 47 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
5756ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
5857com23 86 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> ( A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
5958imim2d 57 . . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) ) )
60 elin 3796 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) <-> ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) )
6160imbi1i 339 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
62 impexp 462 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
6361, 62bitri 264 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) <-> ( x e. J -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
6459, 63syl6ibr 242 . . . . . . 7 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
6564alimdv 1845 . . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) -> A. x ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) ) )
66 df-ral 2917 . . . . . 6 |- ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) <-> A. x ( x e. J -> A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
67 dfss2 3591 . . . . . 6 |- ( ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } <-> A. x ( x e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) -> x e. { (/) , U. J } ) )
6865, 66, 673imtr4g 285 . . . . 5 |- ( J e. Top -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
691isconn2 21217 . . . . . 6 |- ( J e. Conn <-> ( J e. Top /\ ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
7069baib 944 . . . . 5 |- ( J e. Top -> ( J e. Conn <-> ( J i^i ( Clsd ` J ) ) C_ { (/) , U. J } ) )
7168, 70sylibrd 249 . . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> J e. Conn ) )
7211, 71syl 17 . . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) -> J e. Conn ) )
7310, 72impbid2 216 . 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Conn <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
74 toponuni 20719 . . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
7574neeq2d 2854 . . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( x u. y ) =/= X <-> ( x u. y ) =/= U. J ) )
7675imbi2d 330 . . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
77762ralbidv 2989 . 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
7873, 77bitr4d 271 1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Conn <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820  Conncconn 21214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-conn 21215
This theorem is referenced by:  connsuba  21223  pconnconn  31213
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