Theorem cldopn 20835

Description: The complement of a closed set is open. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cldopn	|- ( S e. ( Clsd ` J ) -> ( X \ S ) e. J )

Proof of Theorem cldopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 20830	. 2 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )
2		iscld.1	. . . 4 |- X = U. J
3	2	iscld 20831	. . 3 |- ( J e. Top -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( S C_ X /\ ( X \ S ) e. J ) ) )
4	3	simplbda 654	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( X \ S ) e. J )
5	1, 4	mpancom 703	1 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> ( X \ S ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698   Clsdccld 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823

This theorem is referenced by:  difopn  20838  iincld  20843  uncld  20845  iuncld  20849  clsval2  20854  opncldf1  20888  opncldf3  20890  restcld  20976  lecldbas  21023  cnclima  21072  nrmsep2  21160  nrmsep  21161  regsep2  21180  cmpcld  21205  dfconn2  21222  txcld  21406  ptcld  21416  kqcldsat  21536  regr1lem  21542  filconn  21687  cldsubg  21914  limcnlp  23642  dvrec  23718  dvexp3  23741  lhop1lem  23776  abelth  24195  logdmopn  24395  lgamucov  24764  onsucconni  32436  onint1  32448  mblfinlem3  33448  mblfinlem4  33449  ismblfin  33450  dvtanlem  33459  dvasin  33496  dvacos  33497  dvreasin  33498  dvreacos  33499  fourierdlem62  40385