Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dssmapnvod Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem dssmapnvod 38314
Description: For any base set B the duality operator for self-mappings of subsets of that base set is its own inverse, an involution. (Contributed by RP, 20-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dssmapfvd.o |- O = ( b e. _V |-> ( f e. ( ~P b ^m ~P b ) |-> ( s e. ~P b |-> ( b \ ( f ` ( b \ s ) ) ) ) ) )
dssmapfvd.d |- D = ( O ` B )
dssmapfvd.b |- ( ph -> B e. V )
Assertion
Ref Expression
dssmapnvod |- ( ph -> `' D = D )
Distinct variable groups:   B, b, f, s   ph, b, f, s
Allowed substitution hints:   D( f, s, b)   O( f, s, b)   V( f, s, b)
Proof of Theorem dssmapnvod
Dummy variables g z t u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) -> g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) )
2 difeq2 3722 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = t -> ( B \ s ) = ( B \ t ) )
32fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = t -> ( f ` ( B \ s ) ) = ( f ` ( B \ t ) ) )
43difeq2d 3728 . . . . . . . . . 10 |- ( s = t -> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) = ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) )
54cbvmptv 4750 . . . . . . . . 9 |- ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) = ( t e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) )
61, 5syl6eq 2672 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) -> g = ( t e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) ) )
7 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . 12 |- B C_ ( B u. ( f ` ( B \ t ) ) )
8 sspwb 4917 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B C_ ( B u. ( f ` ( B \ t ) ) ) <-> ~P B C_ ~P ( B u. ( f ` ( B \ t ) ) ) )
97, 8mpbi 220 . . . . . . . . . . 11 |- ~P B C_ ~P ( B u. ( f ` ( B \ t ) ) )
10 dssmapfvd.b . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. V )
11 pwidg 4173 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. V -> B e. ~P B )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ~P B )
139, 12sseldi 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ~P ( B u. ( f ` ( B \ t ) ) ) )
14 fvex 6201 . . . . . . . . . . 11 |- ( f ` ( B \ t ) ) e. _V
1514elpwun 6977 . . . . . . . . . 10 |- ( B e. ~P ( B u. ( f ` ( B \ t ) ) ) <-> ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) e. ~P B )
1613, 15sylib 208 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) e. ~P B )
1716ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) e. ~P B )
186, 17fmpt3d 6386 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) -> g : ~P B --> ~P B )
19 pwexg 4850 . . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ~P B e. _V )
2010, 19syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ~P B e. _V )
2120adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) -> ~P B e. _V )
2221, 21elmapd 7871 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) -> ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) <-> g : ~P B --> ~P B ) )
2318, 22mpbird 247 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) -> g e. ( ~P B ^m ~P B ) )
2423adantrl 752 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) ) -> g e. ( ~P B ^m ~P B ) )
25 simplr 792 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) )
26 difeq2 3722 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = u -> ( B \ s ) = ( B \ u ) )
2726fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = u -> ( f ` ( B \ s ) ) = ( f ` ( B \ u ) ) )
2827difeq2d 3728 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = u -> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) = ( B \ ( f ` ( B \ u ) ) ) )
2928cbvmptv 4750 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) = ( u e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ u ) ) ) )
3025, 29syl6eq 2672 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> g = ( u e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ u ) ) ) ) )
31 difeq2 3722 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( B \ t ) -> ( B \ u ) = ( B \ ( B \ t ) ) )
3231fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( B \ t ) -> ( f ` ( B \ u ) ) = ( f ` ( B \ ( B \ t ) ) ) )
3332difeq2d 3728 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( B \ t ) -> ( B \ ( f ` ( B \ u ) ) ) = ( B \ ( f ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) )
3433adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) /\ u = ( B \ t ) ) -> ( B \ ( f ` ( B \ u ) ) ) = ( B \ ( f ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) )
35 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- B C_ ( B u. t )
36 sspwb 4917 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B C_ ( B u. t ) <-> ~P B C_ ~P ( B u. t ) )
3735, 36mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ~P B C_ ~P ( B u. t )
3837, 12sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ~P ( B u. t ) )
39 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- t e. _V
4039elpwun 6977 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ~P ( B u. t ) <-> ( B \ t ) e. ~P B )
4138, 40sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B \ t ) e. ~P B )
4241ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ t ) e. ~P B )
43 difexg 4808 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. V -> ( B \ ( f ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) e. _V )
4410, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B \ ( f ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) e. _V )
4544ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( f ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) e. _V )
4630, 34, 42, 45fvmptd 6288 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( g ` ( B \ t ) ) = ( B \ ( f ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) )
4746difeq2d 3728 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) = ( B \ ( B \ ( f ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) ) )
4847adantlrl 756 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) = ( B \ ( B \ ( f ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) ) )
49 elpwi 4168 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ~P B -> t C_ B )
50 dfss4 3858 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t C_ B <-> ( B \ ( B \ t ) ) = t )
5149, 50sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ~P B -> ( B \ ( B \ t ) ) = t )
5251fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ~P B -> ( f ` ( B \ ( B \ t ) ) ) = ( f ` t ) )
5352difeq2d 3728 . . . . . . . . . 10 |- ( t e. ~P B -> ( B \ ( f ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) = ( B \ ( f ` t ) ) )
5453difeq2d 3728 . . . . . . . . 9 |- ( t e. ~P B -> ( B \ ( B \ ( f ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) ) = ( B \ ( B \ ( f ` t ) ) ) )
5554adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( B \ ( f ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) ) = ( B \ ( B \ ( f ` t ) ) ) )
5620, 20elmapd 7871 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) <-> f : ~P B --> ~P B ) )
5756biimpa 501 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m ~P B ) ) -> f : ~P B --> ~P B )
5857ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( f ` t ) e. ~P B )
5958elpwid 4170 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( f ` t ) C_ B )
60 dfss4 3858 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` t ) C_ B <-> ( B \ ( B \ ( f ` t ) ) ) = ( f ` t ) )
6159, 60sylib 208 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( B \ ( f ` t ) ) ) = ( f ` t ) )
6261adantlrr 757 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( B \ ( f ` t ) ) ) = ( f ` t ) )
6348, 55, 623eqtrrd 2661 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( f ` t ) = ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) )
6463ralrimiva 2966 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) ) -> A. t e. ~P B ( f ` t ) = ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) )
65 elmapfn 7880 . . . . . . . 8 |- ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) -> f Fn ~P B )
6665ad2antrl 764 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) ) -> f Fn ~P B )
67 difeq2 3722 . . . . . . . . 9 |- ( t = z -> ( B \ t ) = ( B \ z ) )
6867fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( t = z -> ( g ` ( B \ t ) ) = ( g ` ( B \ z ) ) )
6968difeq2d 3728 . . . . . . 7 |- ( t = z -> ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) = ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) )
70 difexg 4808 . . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) e. _V )
7110, 70syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) e. _V )
7271ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) e. _V )
73 difexg 4808 . . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) e. _V )
7410, 73syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) e. _V )
7574ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) ) /\ z e. ~P B ) -> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) e. _V )
7666, 69, 72, 75fnmptfvd 6320 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) ) -> ( f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) <-> A. t e. ~P B ( f ` t ) = ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) ) )
7764, 76mpbird 247 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) ) -> f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) )
7824, 77jca 554 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) ) -> ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) )
79 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) -> f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) )
80 difeq2 3722 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = t -> ( B \ z ) = ( B \ t ) )
8180fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = t -> ( g ` ( B \ z ) ) = ( g ` ( B \ t ) ) )
8281difeq2d 3728 . . . . . . . . . 10 |- ( z = t -> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) = ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) )
8382cbvmptv 4750 . . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) = ( t e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) )
8479, 83syl6eq 2672 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) -> f = ( t e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) ) )
85 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . 12 |- B C_ ( B u. ( g ` ( B \ t ) ) )
86 sspwb 4917 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B C_ ( B u. ( g ` ( B \ t ) ) ) <-> ~P B C_ ~P ( B u. ( g ` ( B \ t ) ) ) )
8785, 86mpbi 220 . . . . . . . . . . 11 |- ~P B C_ ~P ( B u. ( g ` ( B \ t ) ) )
8887, 12sseldi 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ~P ( B u. ( g ` ( B \ t ) ) ) )
89 fvex 6201 . . . . . . . . . . 11 |- ( g ` ( B \ t ) ) e. _V
9089elpwun 6977 . . . . . . . . . 10 |- ( B e. ~P ( B u. ( g ` ( B \ t ) ) ) <-> ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) e. ~P B )
9188, 90sylib 208 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) e. ~P B )
9291ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( g ` ( B \ t ) ) ) e. ~P B )
9384, 92fmpt3d 6386 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) -> f : ~P B --> ~P B )
9420adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) -> ~P B e. _V )
9594, 94elmapd 7871 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) -> ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) <-> f : ~P B --> ~P B ) )
9693, 95mpbird 247 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) -> f e. ( ~P B ^m ~P B ) )
9796adantrl 752 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) ) -> f e. ( ~P B ^m ~P B ) )
98 simplr 792 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) )
99 difeq2 3722 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = u -> ( B \ z ) = ( B \ u ) )
10099fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = u -> ( g ` ( B \ z ) ) = ( g ` ( B \ u ) ) )
101100difeq2d 3728 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = u -> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) = ( B \ ( g ` ( B \ u ) ) ) )
102101cbvmptv 4750 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) = ( u e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ u ) ) ) )
10398, 102syl6eq 2672 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> f = ( u e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ u ) ) ) ) )
10431fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( B \ t ) -> ( g ` ( B \ u ) ) = ( g ` ( B \ ( B \ t ) ) ) )
105104difeq2d 3728 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( B \ t ) -> ( B \ ( g ` ( B \ u ) ) ) = ( B \ ( g ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) )
106105adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) /\ u = ( B \ t ) ) -> ( B \ ( g ` ( B \ u ) ) ) = ( B \ ( g ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) )
10741ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ t ) e. ~P B )
108 difexg 4808 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. V -> ( B \ ( g ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) e. _V )
10910, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B \ ( g ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) e. _V )
110109ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( g ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) e. _V )
111103, 106, 107, 110fvmptd 6288 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( f ` ( B \ t ) ) = ( B \ ( g ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) )
112111difeq2d 3728 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) = ( B \ ( B \ ( g ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) ) )
113112adantlrl 756 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) = ( B \ ( B \ ( g ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) ) )
11451fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ~P B -> ( g ` ( B \ ( B \ t ) ) ) = ( g ` t ) )
115114difeq2d 3728 . . . . . . . . . 10 |- ( t e. ~P B -> ( B \ ( g ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) = ( B \ ( g ` t ) ) )
116115difeq2d 3728 . . . . . . . . 9 |- ( t e. ~P B -> ( B \ ( B \ ( g ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) ) = ( B \ ( B \ ( g ` t ) ) ) )
117116adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( B \ ( g ` ( B \ ( B \ t ) ) ) ) ) = ( B \ ( B \ ( g ` t ) ) ) )
11820, 20elmapd 7871 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) <-> g : ~P B --> ~P B ) )
119118biimpa 501 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. ( ~P B ^m ~P B ) ) -> g : ~P B --> ~P B )
120119ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( g ` t ) e. ~P B )
121120elpwid 4170 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( g ` t ) C_ B )
122 dfss4 3858 . . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` t ) C_ B <-> ( B \ ( B \ ( g ` t ) ) ) = ( g ` t ) )
123121, 122sylib 208 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( B \ ( g ` t ) ) ) = ( g ` t ) )
124123adantlrr 757 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( B \ ( g ` t ) ) ) = ( g ` t ) )
125113, 117, 1243eqtrrd 2661 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( g ` t ) = ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) )
126125ralrimiva 2966 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) ) -> A. t e. ~P B ( g ` t ) = ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) )
127 elmapfn 7880 . . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) -> g Fn ~P B )
128127ad2antrl 764 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) ) -> g Fn ~P B )
129 difeq2 3722 . . . . . . . . 9 |- ( t = s -> ( B \ t ) = ( B \ s ) )
130129fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( t = s -> ( f ` ( B \ t ) ) = ( f ` ( B \ s ) ) )
131130difeq2d 3728 . . . . . . 7 |- ( t = s -> ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) = ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) )
132 difexg 4808 . . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) e. _V )
13310, 132syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) e. _V )
134133ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) e. _V )
135 difexg 4808 . . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) e. _V )
13610, 135syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) e. _V )
137136ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) ) /\ s e. ~P B ) -> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) e. _V )
138128, 131, 134, 137fnmptfvd 6320 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) ) -> ( g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) <-> A. t e. ~P B ( g ` t ) = ( B \ ( f ` ( B \ t ) ) ) ) )
139126, 138mpbird 247 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) ) -> g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) )
14097, 139jca 554 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) ) -> ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) )
14178, 140impbida 877 . . 3 |- ( ph -> ( ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ g = ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) <-> ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ f = ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) ) )
142141mptcnv 5534 . 2 |- ( ph -> `' ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) |-> ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) = ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) |-> ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) )
143 dssmapfvd.o . . . 4 |- O = ( b e. _V |-> ( f e. ( ~P b ^m ~P b ) |-> ( s e. ~P b |-> ( b \ ( f ` ( b \ s ) ) ) ) ) )
144 dssmapfvd.d . . . 4 |- D = ( O ` B )
145143, 144, 10dssmapfvd 38311 . . 3 |- ( ph -> D = ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) |-> ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) )
146145cnveqd 5298 . 2 |- ( ph -> `' D = `' ( f e. ( ~P B ^m ~P B ) |-> ( s e. ~P B |-> ( B \ ( f ` ( B \ s ) ) ) ) ) )
147 fveq1 6190 . . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( f ` ( b \ s ) ) = ( g ` ( b \ s ) ) )
148147difeq2d 3728 . . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( b \ ( f ` ( b \ s ) ) ) = ( b \ ( g ` ( b \ s ) ) ) )
149148mpteq2dv 4745 . . . . . . 7 |- ( f = g -> ( s e. ~P b |-> ( b \ ( f ` ( b \ s ) ) ) ) = ( s e. ~P b |-> ( b \ ( g ` ( b \ s ) ) ) ) )
150 difeq2 3722 . . . . . . . . . 10 |- ( s = z -> ( b \ s ) = ( b \ z ) )
151150fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( s = z -> ( g ` ( b \ s ) ) = ( g ` ( b \ z ) ) )
152151difeq2d 3728 . . . . . . . 8 |- ( s = z -> ( b \ ( g ` ( b \ s ) ) ) = ( b \ ( g ` ( b \ z ) ) ) )
153152cbvmptv 4750 . . . . . . 7 |- ( s e. ~P b |-> ( b \ ( g ` ( b \ s ) ) ) ) = ( z e. ~P b |-> ( b \ ( g ` ( b \ z ) ) ) )
154149, 153syl6eq 2672 . . . . . 6 |- ( f = g -> ( s e. ~P b |-> ( b \ ( f ` ( b \ s ) ) ) ) = ( z e. ~P b |-> ( b \ ( g ` ( b \ z ) ) ) ) )
155154cbvmptv 4750 . . . . 5 |- ( f e. ( ~P b ^m ~P b ) |-> ( s e. ~P b |-> ( b \ ( f ` ( b \ s ) ) ) ) ) = ( g e. ( ~P b ^m ~P b ) |-> ( z e. ~P b |-> ( b \ ( g ` ( b \ z ) ) ) ) )
156155mpteq2i 4741 . . . 4 |- ( b e. _V |-> ( f e. ( ~P b ^m ~P b ) |-> ( s e. ~P b |-> ( b \ ( f ` ( b \ s ) ) ) ) ) ) = ( b e. _V |-> ( g e. ( ~P b ^m ~P b ) |-> ( z e. ~P b |-> ( b \ ( g ` ( b \ z ) ) ) ) ) )
157143, 156eqtri 2644 . . 3 |- O = ( b e. _V |-> ( g e. ( ~P b ^m ~P b ) |-> ( z e. ~P b |-> ( b \ ( g ` ( b \ z ) ) ) ) ) )
158157, 144, 10dssmapfvd 38311 . 2 |- ( ph -> D = ( g e. ( ~P B ^m ~P B ) |-> ( z e. ~P B |-> ( B \ ( g ` ( B \ z ) ) ) ) ) )
159142, 146, 1583eqtr4d 2666 1 |- ( ph -> `' D = D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859
This theorem is referenced by:  dssmapf1od  38315  dssmap2d  38316  ntrclsnvobr  38350  clsneicnv  38403  neicvgnvo  38413  dssmapclsntr  38427
  Copyright terms: Public domain W3C validator