Theorem el2mpt2csbcl 7250

Description: If the operation value of the operation value of two nested maps-to notation is not empty, all involved arguments belong to the corresponding base classes of the maps-to notations. (Contributed by AV, 21-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
el2mpt2csbcl.o	|- O = ( x e. A , y e. B |-> ( s e. C , t e. D |-> E ) )

Assertion

Ref	Expression
el2mpt2csbcl	|- ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) -> ( W e. ( S ( X O Y ) T ) -> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, s, t, x, y   B, s, t, x, y   C, s, t   D, s, t   x, U, y   x, V, y   X, s, t, x, y   Y, s, t, x, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   D( x, y)   S( x, y, t, s)   T( x, y, t, s)   U( t, s)   E( x, y, t, s)   O( x, y, t, s)   V( t, s)   W( x, y, t, s)

Proof of Theorem el2mpt2csbcl

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ W e. ( S ( X O Y ) T ) ) ) -> ( X e. A /\ Y e. B ) )
2		el2mpt2csbcl.o	. . . . . . . . . . . . 13 |- O = ( x e. A , y e. B |-> ( s e. C , t e. D |-> E ) )
3		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ a ( s e. C , t e. D |-> E )
4		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ b ( s e. C , t e. D |-> E )
5		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C
6		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D
7		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E
8	5, 6, 7	nfmpt2 6724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( s e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C , t e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D |-> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E )
9		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y a
10		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y [_ b / y ]_ C
11	9, 10	nfcsb 3551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C
12		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y [_ b / y ]_ D
13	9, 12	nfcsb 3551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D
14		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y [_ b / y ]_ E
15	9, 14	nfcsb 3551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E
16	11, 13, 15	nfmpt2 6724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ( s e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C , t e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D |-> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E )
17		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> C = [_ a / x ]_ C )
18		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = b -> C = [_ b / y ]_ C )
19	18	csbeq2dv 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = b -> [_ a / x ]_ C = [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C )
20	17, 19	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> C = [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C )
21		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> D = [_ a / x ]_ D )
22		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = b -> D = [_ b / y ]_ D )
23	22	csbeq2dv 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = b -> [_ a / x ]_ D = [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D )
24	21, 23	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> D = [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D )
25		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> E = [_ a / x ]_ E )
26		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = b -> E = [_ b / y ]_ E )
27	26	csbeq2dv 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = b -> [_ a / x ]_ E = [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E )
28	25, 27	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> E = [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E )
29	20, 24, 28	mpt2eq123dv 6717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( s e. C , t e. D |-> E ) = ( s e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C , t e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D |-> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E ) )
30	3, 4, 8, 16, 29	cbvmpt2 6734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A , y e. B |-> ( s e. C , t e. D |-> E ) ) = ( a e. A , b e. B |-> ( s e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C , t e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D |-> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E ) )
31	2, 30	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- O = ( a e. A , b e. B |-> ( s e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C , t e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D |-> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E ) )
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ ( X e. A /\ Y e. B ) ) -> O = ( a e. A , b e. B |-> ( s e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C , t e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D |-> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E ) ) )
33		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = X -> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C = [_ X / x ]_ [_ b / y ]_ C )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C = [_ X / x ]_ [_ b / y ]_ C )
35		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = Y -> [_ b / y ]_ C = [_ Y / y ]_ C )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> [_ b / y ]_ C = [_ Y / y ]_ C )
37	36	csbeq2dv 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> [_ X / x ]_ [_ b / y ]_ C = [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C )
38	34, 37	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C = [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C )
39		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = X -> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D = [_ X / x ]_ [_ b / y ]_ D )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D = [_ X / x ]_ [_ b / y ]_ D )
41		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = Y -> [_ b / y ]_ D = [_ Y / y ]_ D )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> [_ b / y ]_ D = [_ Y / y ]_ D )
43	42	csbeq2dv 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> [_ X / x ]_ [_ b / y ]_ D = [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D )
44	40, 43	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D = [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D )
45		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = X -> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E = [_ X / x ]_ [_ b / y ]_ E )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E = [_ X / x ]_ [_ b / y ]_ E )
47		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = Y -> [_ b / y ]_ E = [_ Y / y ]_ E )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> [_ b / y ]_ E = [_ Y / y ]_ E )
49	48	csbeq2dv 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> [_ X / x ]_ [_ b / y ]_ E = [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ E )
50	46, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E = [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ E )
51	38, 44, 50	mpt2eq123dv 6717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = X /\ b = Y ) -> ( s e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C , t e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D |-> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E ) = ( s e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C , t e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D |-> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ E ) )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ ( X e. A /\ Y e. B ) ) /\ ( a = X /\ b = Y ) ) -> ( s e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ C , t e. [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ D |-> [_ a / x ]_ [_ b / y ]_ E ) = ( s e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C , t e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D |-> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ E ) )
53		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> X e. A )
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ ( X e. A /\ Y e. B ) ) -> X e. A )
55		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> Y e. B )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ ( X e. A /\ Y e. B ) ) -> Y e. B )
57		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. U /\ D e. V ) -> C e. U )
58	57	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) -> A. y e. B C e. U )
59		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y e. B /\ A. y e. B C e. U ) -> [_ Y / y ]_ C e. U )
60	55, 58, 59	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) ) -> [_ Y / y ]_ C e. U )
61	60	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) -> [_ Y / y ]_ C e. U ) )
62	61	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) -> A. x e. A [_ Y / y ]_ C e. U ) )
63	62	impcom 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ ( X e. A /\ Y e. B ) ) -> A. x e. A [_ Y / y ]_ C e. U )
64		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. A /\ A. x e. A [_ Y / y ]_ C e. U ) -> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C e. U )
65	54, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ ( X e. A /\ Y e. B ) ) -> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C e. U )
66		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. U /\ D e. V ) -> D e. V )
67	66	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) -> A. y e. B D e. V )
68		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y e. B /\ A. y e. B D e. V ) -> [_ Y / y ]_ D e. V )
69	55, 67, 68	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) ) -> [_ Y / y ]_ D e. V )
70	69	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) -> [_ Y / y ]_ D e. V ) )
71	70	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) -> A. x e. A [_ Y / y ]_ D e. V ) )
72	71	impcom 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ ( X e. A /\ Y e. B ) ) -> A. x e. A [_ Y / y ]_ D e. V )
73		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. A /\ A. x e. A [_ Y / y ]_ D e. V ) -> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D e. V )
74	54, 72, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ ( X e. A /\ Y e. B ) ) -> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D e. V )
75		mpt2exga 7246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C e. U /\ [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D e. V ) -> ( s e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C , t e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D |-> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ E ) e. _V )
76	65, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ ( X e. A /\ Y e. B ) ) -> ( s e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C , t e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D |-> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ E ) e. _V )
77	32, 52, 54, 56, 76	ovmpt2d 6788	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ ( X e. A /\ Y e. B ) ) -> ( X O Y ) = ( s e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C , t e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D |-> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ E ) )
78	77	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ ( X e. A /\ Y e. B ) ) -> ( S ( X O Y ) T ) = ( S ( s e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C , t e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D |-> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ E ) T ) )
79	78	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ ( X e. A /\ Y e. B ) ) -> ( W e. ( S ( X O Y ) T ) <-> W e. ( S ( s e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C , t e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D |-> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ E ) T ) ) )
80		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( s e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C , t e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D |-> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ E ) = ( s e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C , t e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D |-> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ E )
81	80	elmpt2cl 6876	. . . . . . . 8 |- ( W e. ( S ( s e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C , t e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D |-> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ E ) T ) -> ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) )
82	79, 81	syl6bi 243	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ ( X e. A /\ Y e. B ) ) -> ( W e. ( S ( X O Y ) T ) -> ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) ) )
83	82	impancom 456	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ W e. ( S ( X O Y ) T ) ) -> ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) ) )
84	83	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ W e. ( S ( X O Y ) T ) ) ) -> ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) )
85	1, 84	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ W e. ( S ( X O Y ) T ) ) ) -> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) ) )
86	85	ex 450	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ W e. ( S ( X O Y ) T ) ) -> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) ) ) )
87	2	mpt2ndm0 6875	. . . . . . 7 |- ( -. ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( X O Y ) = (/) )
88	87	oveqd 6667	. . . . . 6 |- ( -. ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( S ( X O Y ) T ) = ( S (/) T ) )
89	88	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( -. ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( W e. ( S ( X O Y ) T ) <-> W e. ( S (/) T ) ) )
90		noel 3919	. . . . . . 7 |- -. W e. (/)
91	90	pm2.21i 116	. . . . . 6 |- ( W e. (/) -> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) ) )
92		0ov 6682	. . . . . 6 |- ( S (/) T ) = (/)
93	91, 92	eleq2s 2719	. . . . 5 |- ( W e. ( S (/) T ) -> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) ) )
94	89, 93	syl6bi 243	. . . 4 |- ( -. ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( W e. ( S ( X O Y ) T ) -> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) ) ) )
95	94	adantld 483	. . 3 |- ( -. ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ W e. ( S ( X O Y ) T ) ) -> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) ) ) )
96	86, 95	pm2.61i 176	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) /\ W e. ( S ( X O Y ) T ) ) -> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) ) )
97	96	ex 450	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) -> ( W e. ( S ( X O Y ) T ) -> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   (/)c0 3915  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169

This theorem is referenced by:  el2mpt2cl  7251