Theorem eliccelico 29539

Description: Relate elementhood to a closed interval with elementhood to the same closed-below, open-above interval or to its upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eliccelico	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. ( A [,) B ) \/ C = B ) ) )

Proof of Theorem eliccelico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ ( C e. ( A [,] B ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) ) -> A e. RR* )
2		simpl2 1065	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ ( C e. ( A [,] B ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) ) -> B e. RR* )
3		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ ( C e. ( A [,] B ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) ) -> C e. ( A [,] B ) )
4		elicc1 12219	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
5	4	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. ( A [,] B ) ) -> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
6	5	simp1d 1073	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. ( A [,] B ) ) -> C e. RR* )
7	1, 2, 3, 6	syl21anc 1325	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ ( C e. ( A [,] B ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) ) -> C e. RR* )
8	5	simp3d 1075	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. ( A [,] B ) ) -> C <_ B )
9	1, 2, 3, 8	syl21anc 1325	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ ( C e. ( A [,] B ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) ) -> C <_ B )
10	1, 2	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ ( C e. ( A [,] B ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
11		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ ( C e. ( A [,] B ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) ) -> -. C e. ( A [,) B ) )
12	5	simp2d 1074	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ C e. ( A [,] B ) ) -> A <_ C )
13	10, 3, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ ( C e. ( A [,] B ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) ) -> A <_ C )
14		elico1 12218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,) B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
15	14	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. C e. ( A [,) B ) <-> -. ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) ) )
16	15	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) -> -. ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) )
17		df-3an 1039	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) <-> ( ( C e. RR* /\ A <_ C ) /\ C < B ) )
18	17	notbii 310	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) <-> -. ( ( C e. RR* /\ A <_ C ) /\ C < B ) )
19		imnan 438	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. RR* /\ A <_ C ) -> -. C < B ) <-> -. ( ( C e. RR* /\ A <_ C ) /\ C < B ) )
20	18, 19	bitr4i 267	. . . . . . . 8 |- ( -. ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C < B ) <-> ( ( C e. RR* /\ A <_ C ) -> -. C < B ) )
21	16, 20	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C ) -> -. C < B ) )
22	21	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C ) ) -> -. C < B )
23	10, 11, 7, 13, 22	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ ( C e. ( A [,] B ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) ) -> -. C < B )
24		xeqlelt 29538	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C = B <-> ( C <_ B /\ -. C < B ) ) )
25	24	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ( C e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C <_ B /\ -. C < B ) ) -> C = B )
26	7, 2, 9, 23, 25	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ ( C e. ( A [,] B ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) ) -> C = B )
27	26	ex 450	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( ( C e. ( A [,] B ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) -> C = B ) )
28		pm5.6 951	. . 3 |- ( ( ( C e. ( A [,] B ) /\ -. C e. ( A [,) B ) ) -> C = B ) <-> ( C e. ( A [,] B ) -> ( C e. ( A [,) B ) \/ C = B ) ) )
29	27, 28	sylib 208	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( C e. ( A [,] B ) -> ( C e. ( A [,) B ) \/ C = B ) ) )
30		icossicc 12260	. . . . 5 |- ( A [,) B ) C_ ( A [,] B )
31		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> C e. ( A [,) B ) )
32	30, 31	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ C e. ( A [,) B ) ) -> C e. ( A [,] B ) )
33		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ C = B ) -> C = B )
34		simpl2 1065	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ C = B ) -> B e. RR* )
35	33, 34	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ C = B ) -> C e. RR* )
36		simpl3 1066	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ C = B ) -> A <_ B )
37	36, 33	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ C = B ) -> A <_ C )
38		xrleid 11983	. . . . . . 7 |- ( B e. RR* -> B <_ B )
39	34, 38	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ C = B ) -> B <_ B )
40	33, 39	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ C = B ) -> C <_ B )
41		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ C = B ) -> A e. RR* )
42	41, 34, 4	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ C = B ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
43	35, 37, 40, 42	mpbir3and 1245	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ C = B ) -> C e. ( A [,] B ) )
44	32, 43	jaodan 826	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) /\ ( C e. ( A [,) B ) \/ C = B ) ) -> C e. ( A [,] B ) )
45	44	ex 450	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( ( C e. ( A [,) B ) \/ C = B ) -> C e. ( A [,] B ) ) )
46	29, 45	impbid 202	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. ( A [,) B ) \/ C = B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177   [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  xrge0adddir  29692  esumcvg  30148