Theorem icossicc 12260

Description: A closed-below, open-above interval is a subset of its closure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
icossicc	|- ( A [,) B ) C_ ( A [,] B )

Proof of Theorem icossicc

Dummy variables a b w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 12181	. 2 |- [,) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { x e. RR* | ( a <_ x /\ x < b ) } )
2		df-icc 12182	. 2 |- [,] = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { x e. RR* | ( a <_ x /\ x <_ b ) } )
3		idd 24	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( A <_ w -> A <_ w ) )
4		xrltle 11982	. 2 |- ( ( w e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( w < B -> w <_ B ) )
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 12189	1 |- ( A [,) B ) C_ ( A [,] B )

Syntax hints:   /\ wa 384   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177   [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  22743  itg2mulclem  23513  itg2mulc  23514  itg2monolem1  23517  itg2monolem2  23518  itg2monolem3  23519  itg2mono  23520  itg2i1fseqle  23521  itg2i1fseq3  23524  itg2addlem  23525  itg2gt0  23527  itg2cnlem2  23529  psercnlem2  24178  eliccelico  29539  xrge0slmod  29844  xrge0iifcnv  29979  lmlimxrge0  29994  lmdvglim  30000  esumfsupre  30133  esumpfinvallem  30136  esumpfinval  30137  esumpfinvalf  30138  esumpcvgval  30140  esumpmono  30141  esummulc1  30143  sitmcl  30413  itg2addnc  33464  itg2gt0cn  33465  ftc1anclem6  33490  ftc1anclem8  33492  icoiccdif  39750  limciccioolb  39853  ltmod  39870  fourierdlem63  40386  fge0icoicc  40582  sge0tsms  40597  sge0iunmptlemre  40632  sge0isum  40644  sge0xaddlem1  40650  sge0xaddlem2  40651  sge0pnffsumgt  40659  sge0gtfsumgt  40660  sge0seq  40663  ovnsupge0  40771  ovnlecvr  40772  ovnsubaddlem1  40784  sge0hsphoire  40803  hoidmv1lelem3  40807  hoidmv1le  40808  hoidmvlelem1  40809  hoidmvlelem2  40810  hoidmvlelem3  40811  hoidmvlelem4  40812  hoidmvlelem5  40813  hoidmvle  40814  ovnhoilem1  40815  ovnlecvr2  40824  hspmbllem2  40841