Theorem ptrecube 33409

Description: Any point in an open set of N-space is surrounded by an open cube within that set. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptrecube.r	|- R = ( Xt_ ` ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) )
ptrecube.d	|- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )

Assertion

Ref	Expression
ptrecube	|- ( ( S e. R /\ P e. S ) -> E. d e. RR+ X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S )

Distinct variable groups:   n, d, N   P, d, n   S, d, n

Allowed substitution hints:   D( n, d)   R( n, d)

Proof of Theorem ptrecube

Dummy variables g h w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptrecube.r	. . . 4 |- R = ( Xt_ ` ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) )
2		fzfi 12771	. . . . 5 |- ( 1 ... N ) e. Fin
3		retop 22565	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
4		fnconstg 6093	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top -> ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) Fn ( 1 ... N ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) Fn ( 1 ... N )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- { x | E. h ( ( h Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ w ) ( h ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ x = X_ n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) ) } = { x | E. h ( ( h Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ w ) ( h ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ x = X_ n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) ) }
7	6	ptval 21373	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) Fn ( 1 ... N ) ) -> ( Xt_ ` ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ) = ( topGen ` { x | E. h ( ( h Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ w ) ( h ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ x = X_ n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) ) } ) )
8	2, 5, 7	mp2an 708	. . . 4 |- ( Xt_ ` ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ) = ( topGen ` { x | E. h ( ( h Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ w ) ( h ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ x = X_ n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) ) } )
9	1, 8	eqtri 2644	. . 3 |- R = ( topGen ` { x | E. h ( ( h Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ w ) ( h ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ x = X_ n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) ) } )
10	9	eleq2i 2693	. 2 |- ( S e. R <-> S e. ( topGen ` { x | E. h ( ( h Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ w ) ( h ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ x = X_ n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) ) } ) )
11		tg2 20769	. . 3 |- ( ( S e. ( topGen ` { x | E. h ( ( h Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ w ) ( h ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ x = X_ n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) ) } ) /\ P e. S ) -> E. z e. { x | E. h ( ( h Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ w ) ( h ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ x = X_ n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) ) } ( P e. z /\ z C_ S ) )
12	6	elpt 21375	. . . . 5 |- ( z e. { x | E. h ( ( h Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ w ) ( h ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ x = X_ n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) ) } <-> E. g ( ( g Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. z e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ z ) ( g ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ z = X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) ) )
13		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( topGen ` ran (,) ) e. _V
14	13	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) = ( topGen ` ran (,) ) )
15	14	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( g ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) <-> ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) )
16	15	ralbiia 2979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
17		elixp2 7912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) <-> ( P e. _V /\ P Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( P ` n ) e. ( g ` n ) ) )
18	17	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) -> A. n e. ( 1 ... N ) ( P ` n ) e. ( g ` n ) )
19		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. n e. ( 1 ... N ) ( ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( P ` n ) e. ( g ` n ) ) <-> ( A. n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( P ` n ) e. ( g ` n ) ) )
20		uniretop 22566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
21	20	eltopss 20712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( g ` n ) C_ RR )
22	3, 21	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) -> ( g ` n ) C_ RR )
23	22	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( P ` n ) e. ( g ` n ) ) -> ( P ` n ) e. RR )
24		ptrecube.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
25	24	rexmet 22594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- D e. ( *Met ` RR )
26		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
27	24, 26	tgioo 22599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( MetOpen ` D )
28	27	mopni2 22298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( P ` n ) e. ( g ` n ) ) -> E. y e. RR+ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) y ) C_ ( g ` n ) )
29	25, 28	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( P ` n ) e. ( g ` n ) ) -> E. y e. RR+ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) y ) C_ ( g ` n ) )
30		r19.42v 3092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. y e. RR+ ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) y ) C_ ( g ` n ) ) <-> ( ( P ` n ) e. RR /\ E. y e. RR+ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) y ) C_ ( g ` n ) ) )
31	23, 29, 30	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( P ` n ) e. ( g ` n ) ) -> E. y e. RR+ ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) y ) C_ ( g ` n ) ) )
32	31	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. ( 1 ... N ) ( ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( P ` n ) e. ( g ` n ) ) -> A. n e. ( 1 ... N ) E. y e. RR+ ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) y ) C_ ( g ` n ) ) )
33		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( h ` n ) -> ( ( P ` n ) ( ball ` D ) y ) = ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) )
34	33	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( h ` n ) -> ( ( ( P ` n ) ( ball ` D ) y ) C_ ( g ` n ) <-> ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) C_ ( g ` n ) ) )
35	34	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( h ` n ) -> ( ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) y ) C_ ( g ` n ) ) <-> ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) C_ ( g ` n ) ) ) )
36	35	ac6sfi 8204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ A. n e. ( 1 ... N ) E. y e. RR+ ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) y ) C_ ( g ` n ) ) ) -> E. h ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) C_ ( g ` n ) ) ) )
37	2, 32, 36	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. n e. ( 1 ... N ) ( ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( P ` n ) e. ( g ` n ) ) -> E. h ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) C_ ( g ` n ) ) ) )
38		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. RR+
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ ( 1 ... N ) = (/) ) -> 1 e. RR+ )
40		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ -> ran h C_ RR+ )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ -. ( 1 ... N ) = (/) ) -> ran h C_ RR+ )
42		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ -> h Fn ( 1 ... N ) )
43		fnfi 8238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( h Fn ( 1 ... N ) /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> h e. Fin )
44	42, 2, 43	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ -> h e. Fin )
45		rnfi 8249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( h e. Fin -> ran h e. Fin )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ -> ran h e. Fin )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ -. ( 1 ... N ) = (/) ) -> ran h e. Fin )
48		dm0rn0 5342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( dom h = (/) <-> ran h = (/) )
49		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ -> dom h = ( 1 ... N ) )
50	49	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ -> ( dom h = (/) <-> ( 1 ... N ) = (/) ) )
51	48, 50	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ -> ( ran h = (/) <-> ( 1 ... N ) = (/) ) )
52	51	necon3abid 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ -> ( ran h =/= (/) <-> -. ( 1 ... N ) = (/) ) )
53	52	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ -. ( 1 ... N ) = (/) ) -> ran h =/= (/) )
54		rpssre 11843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- RR+ C_ RR
55	40, 54	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ -> ran h C_ RR )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ -. ( 1 ... N ) = (/) ) -> ran h C_ RR )
57		ltso 10118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- < Or RR
58		fiinfcl 8407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( < Or RR /\ ( ran h e. Fin /\ ran h =/= (/) /\ ran h C_ RR ) ) -> inf ( ran h , RR , < ) e. ran h )
59	57, 58	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ran h e. Fin /\ ran h =/= (/) /\ ran h C_ RR ) -> inf ( ran h , RR , < ) e. ran h )
60	47, 53, 56, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ -. ( 1 ... N ) = (/) ) -> inf ( ran h , RR , < ) e. ran h )
61	41, 60	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ -. ( 1 ... N ) = (/) ) -> inf ( ran h , RR , < ) e. RR+ )
62	39, 61	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ -> if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) e. RR+ )
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) C_ ( g ` n ) ) ) -> if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) e. RR+ )
64	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) e. RR+ )
65	64	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) e. RR* )
66		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( h ` n ) e. RR+ )
67	66	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( h ` n ) e. RR* )
68		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( 1 ... N ) =/= (/) )
69		ifnefalse 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 1 ... N ) =/= (/) -> if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) = inf ( ran h , RR , < ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) = inf ( ran h , RR , < ) )
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) = inf ( ran h , RR , < ) )
72	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ran h C_ RR )
73		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 e. RR
74		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( y e. RR+ -> 0 <_ y )
75	74	rgen 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- A. y e. RR+ 0 <_ y
76		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ran h C_ RR+ -> ( A. y e. RR+ 0 <_ y -> A. y e. ran h 0 <_ y ) )
77	40, 75, 76	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ -> A. y e. ran h 0 <_ y )
78		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = 0 -> ( x <_ y <-> 0 <_ y ) )
79	78	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = 0 -> ( A. y e. ran h x <_ y <-> A. y e. ran h 0 <_ y ) )
80	79	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( 0 e. RR /\ A. y e. ran h 0 <_ y ) -> E. x e. RR A. y e. ran h x <_ y )
81	73, 77, 80	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ -> E. x e. RR A. y e. ran h x <_ y )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> E. x e. RR A. y e. ran h x <_ y )
83		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( h Fn ( 1 ... N ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( h ` n ) e. ran h )
84	42, 83	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( h ` n ) e. ran h )
85		infrelb 11008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ran h C_ RR /\ E. x e. RR A. y e. ran h x <_ y /\ ( h ` n ) e. ran h ) -> inf ( ran h , RR , < ) <_ ( h ` n ) )
86	72, 82, 84, 85	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> inf ( ran h , RR , < ) <_ ( h ` n ) )
87	71, 86	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) <_ ( h ` n ) )
88	65, 67, 87	jca31 557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) e. RR* /\ ( h ` n ) e. RR* ) /\ if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) <_ ( h ` n ) ) )
89		ssbl 22228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ ( P ` n ) e. RR ) /\ ( if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) e. RR* /\ ( h ` n ) e. RR* ) /\ if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) <_ ( h ` n ) ) -> ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) )
90	89	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ ( P ` n ) e. RR ) /\ ( ( if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) e. RR* /\ ( h ` n ) e. RR* ) /\ if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) <_ ( h ` n ) ) ) -> ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) )
91	25, 90	mpanl1 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) e. RR* /\ ( h ` n ) e. RR* ) /\ if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) <_ ( h ` n ) ) ) -> ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) )
92	91	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) e. RR* /\ ( h ` n ) e. RR* ) /\ if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) <_ ( h ` n ) ) /\ ( P ` n ) e. RR ) -> ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) )
93	88, 92	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ n e. ( 1 ... N ) ) /\ ( P ` n ) e. RR ) -> ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) )
94		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) -> ( ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) C_ ( g ` n ) -> ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( g ` n ) ) )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ n e. ( 1 ... N ) ) /\ ( P ` n ) e. RR ) -> ( ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) C_ ( g ` n ) -> ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( g ` n ) ) )
96	95	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) C_ ( g ` n ) ) -> ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( g ` n ) ) )
97	96	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ -> ( A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) C_ ( g ` n ) ) -> A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( g ` n ) ) )
98	97	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) C_ ( g ` n ) ) ) -> A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( g ` n ) )
99	24	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ball ` D ) = ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
100	99	oveqi 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) = ( ( P ` n ) ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) )
101	100	sseq1i 3629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( g ` n ) <-> ( ( P ` n ) ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( g ` n ) )
102	101	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( g ` n ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( g ` n ) )
103		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ d A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( g ` n )
104	102, 103	nfxfr 1779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ d A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( g ` n )
105		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d = if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) -> ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) = ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) )
106	105	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( d = if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) -> ( ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ ( g ` n ) <-> ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( g ` n ) ) )
107	106	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) -> ( A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ ( g ` n ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( g ` n ) ) )
108	104, 107	rspce 3304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) e. RR+ /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) if ( ( 1 ... N ) = (/) , 1 , inf ( ran h , RR , < ) ) ) C_ ( g ` n ) ) -> E. d e. RR+ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ ( g ` n ) )
109	63, 98, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) C_ ( g ` n ) ) ) -> E. d e. RR+ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ ( g ` n ) )
110	109	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. h ( h : ( 1 ... N ) --> RR+ /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) e. RR /\ ( ( P ` n ) ( ball ` D ) ( h ` n ) ) C_ ( g ` n ) ) ) -> E. d e. RR+ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ ( g ` n ) )
111	37, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. n e. ( 1 ... N ) ( ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( P ` n ) e. ( g ` n ) ) -> E. d e. RR+ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ ( g ` n ) )
112	19, 111	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( P ` n ) e. ( g ` n ) ) -> E. d e. RR+ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ ( g ` n ) )
113	18, 112	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ P e. X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) ) -> E. d e. RR+ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ ( g ` n ) )
114	16, 113	sylanb 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ P e. X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) ) -> E. d e. RR+ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ ( g ` n ) )
115		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) -> ( X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) C_ S -> X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S ) )
116		ss2ixp 7921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ ( g ` n ) -> X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) )
117	115, 116	syl11 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) C_ S -> ( A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ ( g ` n ) -> X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S ) )
118	117	reximdv 3016	. . . . . . . . . . 11 |- ( X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) C_ S -> ( E. d e. RR+ A. n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ ( g ` n ) -> E. d e. RR+ X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S ) )
119	114, 118	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ P e. X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) ) -> ( X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) C_ S -> E. d e. RR+ X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S ) )
120	119	expimpd 629	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) -> ( ( P e. X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) /\ X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) C_ S ) -> E. d e. RR+ X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S ) )
121		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) -> ( P e. z <-> P e. X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) ) )
122		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) -> ( z C_ S <-> X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) C_ S ) )
123	121, 122	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( z = X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) -> ( ( P e. z /\ z C_ S ) <-> ( P e. X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) /\ X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) C_ S ) ) )
124	123	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( z = X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) -> ( ( ( P e. z /\ z C_ S ) -> E. d e. RR+ X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S ) <-> ( ( P e. X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) /\ X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) C_ S ) -> E. d e. RR+ X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S ) ) )
125	120, 124	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) -> ( z = X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) -> ( ( P e. z /\ z C_ S ) -> E. d e. RR+ X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S ) ) )
126	125	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( g Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. z e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ z ) ( g ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) -> ( z = X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) -> ( ( P e. z /\ z C_ S ) -> E. d e. RR+ X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S ) ) )
127	126	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( g Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. z e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ z ) ( g ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ z = X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) ) -> ( ( P e. z /\ z C_ S ) -> E. d e. RR+ X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S ) )
128	127	exlimiv 1858	. . . . 5 |- ( E. g ( ( g Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. z e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ z ) ( g ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ z = X_ n e. ( 1 ... N ) ( g ` n ) ) -> ( ( P e. z /\ z C_ S ) -> E. d e. RR+ X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S ) )
129	12, 128	sylbi 207	. . . 4 |- ( z e. { x | E. h ( ( h Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ w ) ( h ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ x = X_ n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) ) } -> ( ( P e. z /\ z C_ S ) -> E. d e. RR+ X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S ) )
130	129	rexlimiv 3027	. . 3 |- ( E. z e. { x | E. h ( ( h Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ w ) ( h ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ x = X_ n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) ) } ( P e. z /\ z C_ S ) -> E. d e. RR+ X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S )
131	11, 130	syl 17	. 2 |- ( ( S e. ( topGen ` { x | E. h ( ( h Fn ( 1 ... N ) /\ A. n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) e. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) /\ E. w e. Fin A. n e. ( ( 1 ... N ) \ w ) ( h ` n ) = U. ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ x = X_ n e. ( 1 ... N ) ( h ` n ) ) } ) /\ P e. S ) -> E. d e. RR+ X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S )
132	10, 131	sylanb 489	1 |- ( ( S e. R /\ P e. S ) -> E. d e. RR+ X_ n e. ( 1 ... N ) ( ( P ` n ) ( ball ` D ) d ) C_ S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   Or wor 5034   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   Fincfn 7955  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   abscabs 13974   topGenctg 16098   Xt_cpt 16099   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736   Topctop 20698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  poimirlem29  33438