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Theorem ptbasin 21380
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
Assertion
Ref Expression
ptbasin |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X i^i Y ) e. B )
Distinct variable groups:   x, g, y, z, A   g, Y, x   g, F, x, y, z   g, X, x, z   g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:   B( x, y, z, g)   X( y)   Y( y, z)
Proof of Theorem ptbasin
Dummy variables a b c d k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . . . 6 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
21elpt 21375 . . . . 5 |- ( X e. B <-> E. a ( ( a Fn A /\ A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ X = X_ y e. A ( a ` y ) ) )
31elpt 21375 . . . . 5 |- ( Y e. B <-> E. b ( ( b Fn A /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ Y = X_ y e. A ( b ` y ) ) )
42, 3anbi12i 733 . . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) <-> ( E. a ( ( a Fn A /\ A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ X = X_ y e. A ( a ` y ) ) /\ E. b ( ( b Fn A /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ Y = X_ y e. A ( b ` y ) ) ) )
5 eeanv 2182 . . . 4 |- ( E. a E. b ( ( ( a Fn A /\ A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ X = X_ y e. A ( a ` y ) ) /\ ( ( b Fn A /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ Y = X_ y e. A ( b ` y ) ) ) <-> ( E. a ( ( a Fn A /\ A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ X = X_ y e. A ( a ` y ) ) /\ E. b ( ( b Fn A /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ Y = X_ y e. A ( b ` y ) ) ) )
64, 5bitr4i 267 . . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) <-> E. a E. b ( ( ( a Fn A /\ A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ X = X_ y e. A ( a ` y ) ) /\ ( ( b Fn A /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ Y = X_ y e. A ( b ` y ) ) ) )
7 an4 865 . . . . 5 |- ( ( ( ( a Fn A /\ A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ X = X_ y e. A ( a ` y ) ) /\ ( ( b Fn A /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ Y = X_ y e. A ( b ` y ) ) ) <-> ( ( ( a Fn A /\ A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ ( b Fn A /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( X = X_ y e. A ( a ` y ) /\ Y = X_ y e. A ( b ` y ) ) ) )
8 an6 1408 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a Fn A /\ A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ ( b Fn A /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) <-> ( ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) /\ ( E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) )
9 df-3an 1039 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) /\ ( E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) )
108, 9bitri 264 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a Fn A /\ A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ ( b Fn A /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) )
11 reeanv 3107 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. c e. Fin E. d e. Fin ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) <-> ( E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
12 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = k -> ( a ` y ) = ( a ` k ) )
13 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = k -> ( b ` y ) = ( b ` k ) )
1412, 13ineq12d 3815 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = k -> ( ( a ` y ) i^i ( b ` y ) ) = ( ( a ` k ) i^i ( b ` k ) ) )
1514cbvixpv 7926 . . . . . . . . . . . . . 14 |- X_ y e. A ( ( a ` y ) i^i ( b ` y ) ) = X_ k e. A ( ( a ` k ) i^i ( b ` k ) )
16 simpl1l 1112 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) -> A e. V )
17 unfi 8227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) -> ( c u. d ) e. Fin )
1817ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) -> ( c u. d ) e. Fin )
19 simpl1r 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) -> F : A --> Top )
2019ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) /\ k e. A ) -> ( F ` k ) e. Top )
21 simpl3l 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) -> A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) )
22 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = k -> ( F ` y ) = ( F ` k ) )
2312, 22eleq12d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = k -> ( ( a ` y ) e. ( F ` y ) <-> ( a ` k ) e. ( F ` k ) ) )
2423rspccva 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ k e. A ) -> ( a ` k ) e. ( F ` k ) )
2521, 24sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) /\ k e. A ) -> ( a ` k ) e. ( F ` k ) )
26 simpl3r 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) -> A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) )
2713, 22eleq12d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = k -> ( ( b ` y ) e. ( F ` y ) <-> ( b ` k ) e. ( F ` k ) ) )
2827rspccva 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ k e. A ) -> ( b ` k ) e. ( F ` k ) )
2926, 28sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) /\ k e. A ) -> ( b ` k ) e. ( F ` k ) )
30 inopn 20704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` k ) e. Top /\ ( a ` k ) e. ( F ` k ) /\ ( b ` k ) e. ( F ` k ) ) -> ( ( a ` k ) i^i ( b ` k ) ) e. ( F ` k ) )
3120, 25, 29, 30syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) /\ k e. A ) -> ( ( a ` k ) i^i ( b ` k ) ) e. ( F ` k ) )
32 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) -> A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) )
33 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- c C_ ( c u. d )
34 sscon 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c C_ ( c u. d ) -> ( A \ ( c u. d ) ) C_ ( A \ c ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A \ ( c u. d ) ) C_ ( A \ c )
3635sseli 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( A \ ( c u. d ) ) -> k e. ( A \ c ) )
3722unieqd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = k -> U. ( F ` y ) = U. ( F ` k ) )
3812, 37eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = k -> ( ( a ` y ) = U. ( F ` y ) <-> ( a ` k ) = U. ( F ` k ) ) )
3938rspccva 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ k e. ( A \ c ) ) -> ( a ` k ) = U. ( F ` k ) )
4032, 36, 39syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) /\ k e. ( A \ ( c u. d ) ) ) -> ( a ` k ) = U. ( F ` k ) )
41 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) -> A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) )
42 ssun2 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- d C_ ( c u. d )
43 sscon 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d C_ ( c u. d ) -> ( A \ ( c u. d ) ) C_ ( A \ d ) )
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A \ ( c u. d ) ) C_ ( A \ d )
4544sseli 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( A \ ( c u. d ) ) -> k e. ( A \ d ) )
4613, 37eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = k -> ( ( b ` y ) = U. ( F ` y ) <-> ( b ` k ) = U. ( F ` k ) ) )
4746rspccva 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) /\ k e. ( A \ d ) ) -> ( b ` k ) = U. ( F ` k ) )
4841, 45, 47syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) /\ k e. ( A \ ( c u. d ) ) ) -> ( b ` k ) = U. ( F ` k ) )
4940, 48ineq12d 3815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) /\ k e. ( A \ ( c u. d ) ) ) -> ( ( a ` k ) i^i ( b ` k ) ) = ( U. ( F ` k ) i^i U. ( F ` k ) ) )
50 inidm 3822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. ( F ` k ) i^i U. ( F ` k ) ) = U. ( F ` k )
5149, 50syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) /\ k e. ( A \ ( c u. d ) ) ) -> ( ( a ` k ) i^i ( b ` k ) ) = U. ( F ` k ) )
521, 16, 18, 31, 51elptr2 21377 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) -> X_ k e. A ( ( a ` k ) i^i ( b ` k ) ) e. B )
5315, 52syl5eqel 2705 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( ( c e. Fin /\ d e. Fin ) /\ ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) -> X_ y e. A ( ( a ` y ) i^i ( b ` y ) ) e. B )
5453expr 643 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( c e. Fin /\ d e. Fin ) ) -> ( ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> X_ y e. A ( ( a ` y ) i^i ( b ` y ) ) e. B ) )
5554rexlimdvva 3038 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) -> ( E. c e. Fin E. d e. Fin ( A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> X_ y e. A ( ( a ` y ) i^i ( b ` y ) ) e. B ) )
5611, 55syl5bir 233 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) -> ( ( E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> X_ y e. A ( ( a ` y ) i^i ( b ` y ) ) e. B ) )
57563expb 1266 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) ) -> ( ( E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> X_ y e. A ( ( a ` y ) i^i ( b ` y ) ) e. B ) )
5857impr 649 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( ( ( a Fn A /\ b Fn A ) /\ ( A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) ) ) /\ ( E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) -> X_ y e. A ( ( a ` y ) i^i ( b ` y ) ) e. B )
5910, 58sylan2b 492 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( ( a Fn A /\ A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ ( b Fn A /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) -> X_ y e. A ( ( a ` y ) i^i ( b ` y ) ) e. B )
60 ineq12 3809 . . . . . . . . 9 |- ( ( X = X_ y e. A ( a ` y ) /\ Y = X_ y e. A ( b ` y ) ) -> ( X i^i Y ) = ( X_ y e. A ( a ` y ) i^i X_ y e. A ( b ` y ) ) )
61 ixpin 7933 . . . . . . . . 9 |- X_ y e. A ( ( a ` y ) i^i ( b ` y ) ) = ( X_ y e. A ( a ` y ) i^i X_ y e. A ( b ` y ) )
6260, 61syl6eqr 2674 . . . . . . . 8 |- ( ( X = X_ y e. A ( a ` y ) /\ Y = X_ y e. A ( b ` y ) ) -> ( X i^i Y ) = X_ y e. A ( ( a ` y ) i^i ( b ` y ) ) )
6362eleq1d 2686 . . . . . . 7 |- ( ( X = X_ y e. A ( a ` y ) /\ Y = X_ y e. A ( b ` y ) ) -> ( ( X i^i Y ) e. B <-> X_ y e. A ( ( a ` y ) i^i ( b ` y ) ) e. B ) )
6459, 63syl5ibrcom 237 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( ( a Fn A /\ A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ ( b Fn A /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) ) -> ( ( X = X_ y e. A ( a ` y ) /\ Y = X_ y e. A ( b ` y ) ) -> ( X i^i Y ) e. B ) )
6564expimpd 629 . . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( ( ( ( a Fn A /\ A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ ( b Fn A /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) /\ ( X = X_ y e. A ( a ` y ) /\ Y = X_ y e. A ( b ` y ) ) ) -> ( X i^i Y ) e. B ) )
667, 65syl5bi 232 . . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( ( ( ( a Fn A /\ A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ X = X_ y e. A ( a ` y ) ) /\ ( ( b Fn A /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ Y = X_ y e. A ( b ` y ) ) ) -> ( X i^i Y ) e. B ) )
6766exlimdvv 1862 . . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( E. a E. b ( ( ( a Fn A /\ A. y e. A ( a ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. c e. Fin A. y e. ( A \ c ) ( a ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ X = X_ y e. A ( a ` y ) ) /\ ( ( b Fn A /\ A. y e. A ( b ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. d e. Fin A. y e. ( A \ d ) ( b ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ Y = X_ y e. A ( b ` y ) ) ) -> ( X i^i Y ) e. B ) )
686, 67syl5bi 232 . 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X i^i Y ) e. B ) )
6968imp 445 1 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X i^i Y ) e. B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   X_cixp 7908   Fincfn 7955   Topctop 20698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ixp 7909  df-en 7956  df-fin 7959  df-top 20699
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