Theorem ptpjpre1 21374

Description: The preimage of a projection function can be expressed as an indexed cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptpjpre1.1	|- X = X_ k e. A U. ( F ` k )

Assertion

Ref	Expression
ptpjpre1	|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` I ) ) " U ) = X_ k e. A if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) )

Distinct variable groups:   w, k, A   k, F, w   k, I, w   U, k, w   k, V, w   w, X

Allowed substitution hint:   X( k)

Proof of Theorem ptpjpre1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrl 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ w e. X ) -> I e. A )
2		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
3	2	elixp 7915	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> ( w Fn A /\ A. k e. A ( w ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
4	3	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( w e. X_ k e. A U. ( F ` k ) -> A. k e. A ( w ` k ) e. U. ( F ` k ) )
5		ptpjpre1.1	. . . . . . . . 9 |- X = X_ k e. A U. ( F ` k )
6	4, 5	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 |- ( w e. X -> A. k e. A ( w ` k ) e. U. ( F ` k ) )
7	6	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ w e. X ) -> A. k e. A ( w ` k ) e. U. ( F ` k ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = I -> ( w ` k ) = ( w ` I ) )
9		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( k = I -> ( F ` k ) = ( F ` I ) )
10	9	unieqd 4446	. . . . . . . . 9 |- ( k = I -> U. ( F ` k ) = U. ( F ` I ) )
11	8, 10	eleq12d 2695	. . . . . . . 8 |- ( k = I -> ( ( w ` k ) e. U. ( F ` k ) <-> ( w ` I ) e. U. ( F ` I ) ) )
12	11	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( I e. A -> ( A. k e. A ( w ` k ) e. U. ( F ` k ) -> ( w ` I ) e. U. ( F ` I ) ) )
13	1, 7, 12	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ w e. X ) -> ( w ` I ) e. U. ( F ` I ) )
14		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( w e. X |-> ( w ` I ) ) = ( w e. X |-> ( w ` I ) )
15	13, 14	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( w e. X |-> ( w ` I ) ) : X --> U. ( F ` I ) )
16		ffn 6045	. . . . 5 |- ( ( w e. X |-> ( w ` I ) ) : X --> U. ( F ` I ) -> ( w e. X |-> ( w ` I ) ) Fn X )
17		elpreima 6337	. . . . 5 |- ( ( w e. X |-> ( w ` I ) ) Fn X -> ( z e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` I ) ) " U ) <-> ( z e. X /\ ( ( w e. X |-> ( w ` I ) ) ` z ) e. U ) ) )
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( z e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` I ) ) " U ) <-> ( z e. X /\ ( ( w e. X |-> ( w ` I ) ) ` z ) e. U ) ) )
19		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( w ` I ) = ( z ` I ) )
20		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( z ` I ) e. _V
21	19, 14, 20	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( z e. X -> ( ( w e. X |-> ( w ` I ) ) ` z ) = ( z ` I ) )
22	21	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( z e. X -> ( ( ( w e. X |-> ( w ` I ) ) ` z ) e. U <-> ( z ` I ) e. U ) )
23	22	pm5.32i 669	. . . . . 6 |- ( ( z e. X /\ ( ( w e. X |-> ( w ` I ) ) ` z ) e. U ) <-> ( z e. X /\ ( z ` I ) e. U ) )
24	5	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( z e. X <-> z e. X_ k e. A U. ( F ` k ) )
25		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
26	25	elixp 7915	. . . . . . . . 9 |- ( z e. X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> ( z Fn A /\ A. k e. A ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
27	24, 26	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( z e. X <-> ( z Fn A /\ A. k e. A ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
28	27	anbi1i 731	. . . . . . 7 |- ( ( z e. X /\ ( z ` I ) e. U ) <-> ( ( z Fn A /\ A. k e. A ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) ) /\ ( z ` I ) e. U ) )
29		anass 681	. . . . . . 7 |- ( ( ( z Fn A /\ A. k e. A ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) ) /\ ( z ` I ) e. U ) <-> ( z Fn A /\ ( A. k e. A ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) /\ ( z ` I ) e. U ) ) )
30	28, 29	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( z e. X /\ ( z ` I ) e. U ) <-> ( z Fn A /\ ( A. k e. A ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) /\ ( z ` I ) e. U ) ) )
31	23, 30	bitri 264	. . . . 5 |- ( ( z e. X /\ ( ( w e. X |-> ( w ` I ) ) ` z ) e. U ) <-> ( z Fn A /\ ( A. k e. A ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) /\ ( z ` I ) e. U ) ) )
32		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ ( ( z ` I ) e. U /\ ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) ) ) -> ( z ` I ) e. U )
33		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = I -> ( z ` k ) = ( z ` I ) )
34		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = I -> if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) = U )
35	33, 34	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = I -> ( ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) <-> ( z ` I ) e. U ) )
36	32, 35	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ ( ( z ` I ) e. U /\ ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) ) ) -> ( k = I -> ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) ) )
37		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ ( ( z ` I ) e. U /\ ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) ) ) -> ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) )
38		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. k = I -> if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) = U. ( F ` k ) )
39	38	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. k = I -> ( ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) <-> ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
40	37, 39	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ ( ( z ` I ) e. U /\ ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) ) ) -> ( -. k = I -> ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) ) )
41	36, 40	pm2.61d 170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ ( ( z ` I ) e. U /\ ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) ) ) -> ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) )
42	41	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ ( z ` I ) e. U ) -> ( ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) -> ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) ) )
43	42	ralimdv 2963	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) /\ ( z ` I ) e. U ) -> ( A. k e. A ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) -> A. k e. A ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) ) )
44	43	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( ( ( z ` I ) e. U /\ A. k e. A ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) ) -> A. k e. A ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) ) )
45	44	ancomsd 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( ( A. k e. A ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) /\ ( z ` I ) e. U ) -> A. k e. A ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) ) )
46		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. ( F ` I ) -> U C_ U. ( F ` I ) )
47	46	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> U C_ U. ( F ` I ) )
48	34, 10	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = I -> ( if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) <-> U C_ U. ( F ` I ) ) )
49	47, 48	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( k = I -> if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) )
50		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k )
51	38, 50	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. k = I -> if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) )
52	49, 51	pm2.61d1 171	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) )
53	52	sseld 3602	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) -> ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
54	53	ralimdv 2963	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( A. k e. A ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) -> A. k e. A ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
55	35	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( I e. A -> ( A. k e. A ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) -> ( z ` I ) e. U ) )
56	55	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( A. k e. A ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) -> ( z ` I ) e. U ) )
57	54, 56	jcad 555	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( A. k e. A ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) -> ( A. k e. A ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) /\ ( z ` I ) e. U ) ) )
58	45, 57	impbid 202	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( ( A. k e. A ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) /\ ( z ` I ) e. U ) <-> A. k e. A ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) ) )
59	58	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( ( z Fn A /\ ( A. k e. A ( z ` k ) e. U. ( F ` k ) /\ ( z ` I ) e. U ) ) <-> ( z Fn A /\ A. k e. A ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) ) ) )
60	31, 59	syl5bb 272	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( ( z e. X /\ ( ( w e. X |-> ( w ` I ) ) ` z ) e. U ) <-> ( z Fn A /\ A. k e. A ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) ) ) )
61	18, 60	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( z e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` I ) ) " U ) <-> ( z Fn A /\ A. k e. A ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) ) ) )
62	25	elixp 7915	. . 3 |- ( z e. X_ k e. A if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) <-> ( z Fn A /\ A. k e. A ( z ` k ) e. if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) ) )
63	61, 62	syl6bbr 278	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( z e. ( `' ( w e. X |-> ( w ` I ) ) " U ) <-> z e. X_ k e. A if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) ) )
64	63	eqrdv 2620	1 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ U e. ( F ` I ) ) ) -> ( `' ( w e. X |-> ( w ` I ) ) " U ) = X_ k e. A if ( k = I , U , U. ( F ` k ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ifcif 4086   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   X_cixp 7908   Topctop 20698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ixp 7909

This theorem is referenced by:  ptpjpre2  21383  ptbasfi  21384