Theorem elunirnmbfm 30315

Description: The property of being a measurable function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elunirnmbfm	|- ( F e. U. ran MblFnM <-> E. s e. U. ran sigAlgebra E. t e. U. ran sigAlgebra ( F e. ( U. t ^m U. s ) /\ A. x e. t ( `' F " x ) e. s ) )

Distinct variable group:   t, s, F, x

Proof of Theorem elunirnmbfm

Dummy variables f a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mbfm 30313	. . . . 5 |- MblFnM = ( s e. U. ran sigAlgebra , t e. U. ran sigAlgebra |-> { f e. ( U. t ^m U. s ) | A. x e. t ( `' f " x ) e. s } )
2	1	mpt2fun 6762	. . . 4 |- Fun MblFnM
3		elunirn 6509	. . . 4 |- ( Fun MblFnM -> ( F e. U. ran MblFnM <-> E. a e. dom MblFnM F e. (MblFnM ` a ) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- ( F e. U. ran MblFnM <-> E. a e. dom MblFnM F e. (MblFnM ` a ) )
5		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( U. t ^m U. s ) e. _V
6	5	rabex 4813	. . . . 5 |- { f e. ( U. t ^m U. s ) | A. x e. t ( `' f " x ) e. s } e. _V
7	1, 6	dmmpt2 7240	. . . 4 |- dom MblFnM = ( U. ran sigAlgebra X. U. ran sigAlgebra )
8	7	rexeqi 3143	. . 3 |- ( E. a e. dom MblFnM F e. (MblFnM ` a ) <-> E. a e. ( U. ran sigAlgebra X. U. ran sigAlgebra ) F e. (MblFnM ` a ) )
9		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( a = <. s , t >. -> (MblFnM ` a ) = (MblFnM ` <. s , t >. ) )
10		df-ov 6653	. . . . . 6 |- ( sMblFnM t ) = (MblFnM ` <. s , t >. )
11	9, 10	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( a = <. s , t >. -> (MblFnM ` a ) = ( sMblFnM t ) )
12	11	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( a = <. s , t >. -> ( F e. (MblFnM ` a ) <-> F e. ( sMblFnM t ) ) )
13	12	rexxp 5264	. . 3 |- ( E. a e. ( U. ran sigAlgebra X. U. ran sigAlgebra ) F e. (MblFnM ` a ) <-> E. s e. U. ran sigAlgebra E. t e. U. ran sigAlgebra F e. ( sMblFnM t ) )
14	4, 8, 13	3bitri 286	. 2 |- ( F e. U. ran MblFnM <-> E. s e. U. ran sigAlgebra E. t e. U. ran sigAlgebra F e. ( sMblFnM t ) )
15		simpl 473	. . . 4 |- ( ( s e. U. ran sigAlgebra /\ t e. U. ran sigAlgebra ) -> s e. U. ran sigAlgebra )
16		simpr 477	. . . 4 |- ( ( s e. U. ran sigAlgebra /\ t e. U. ran sigAlgebra ) -> t e. U. ran sigAlgebra )
17	15, 16	ismbfm 30314	. . 3 |- ( ( s e. U. ran sigAlgebra /\ t e. U. ran sigAlgebra ) -> ( F e. ( sMblFnM t ) <-> ( F e. ( U. t ^m U. s ) /\ A. x e. t ( `' F " x ) e. s ) ) )
18	17	2rexbiia 3055	. 2 |- ( E. s e. U. ran sigAlgebra E. t e. U. ran sigAlgebra F e. ( sMblFnM t ) <-> E. s e. U. ran sigAlgebra E. t e. U. ran sigAlgebra ( F e. ( U. t ^m U. s ) /\ A. x e. t ( `' F " x ) e. s ) )
19	14, 18	bitri 264	1 |- ( F e. U. ran MblFnM <-> E. s e. U. ran sigAlgebra E. t e. U. ran sigAlgebra ( F e. ( U. t ^m U. s ) /\ A. x e. t ( `' F " x ) e. s ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   <.cop 4183   U.cuni 4436   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857  sigAlgebracsiga 30170  MblFnMcmbfm 30312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-mbfm 30313

This theorem is referenced by:  mbfmfun  30316  isanmbfm  30318