Theorem isanmbfm 30318

Description: The predicate to be a measurable function. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmf.1	|- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
mbfmf.2	|- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
mbfmf.3	|- ( ph -> F e. ( SMblFnM T ) )

Assertion

Ref	Expression
isanmbfm	|- ( ph -> F e. U. ran MblFnM )

Proof of Theorem isanmbfm

Dummy variables t s x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmf.1	. . 3 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
2		mbfmf.2	. . 3 |- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
3		mbfmf.3	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( SMblFnM T ) )
4	1, 2	ismbfm 30314	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. ( SMblFnM T ) <-> ( F e. ( U. T ^m U. S ) /\ A. x e. T ( `' F " x ) e. S ) ) )
5	3, 4	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( F e. ( U. T ^m U. S ) /\ A. x e. T ( `' F " x ) e. S ) )
6		unieq 4444	. . . . . . 7 |- ( s = S -> U. s = U. S )
7	6	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( U. t ^m U. s ) = ( U. t ^m U. S ) )
8	7	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( s = S -> ( F e. ( U. t ^m U. s ) <-> F e. ( U. t ^m U. S ) ) )
9		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( `' F " x ) e. s <-> ( `' F " x ) e. S ) )
10	9	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( s = S -> ( A. x e. t ( `' F " x ) e. s <-> A. x e. t ( `' F " x ) e. S ) )
11	8, 10	anbi12d 747	. . . 4 |- ( s = S -> ( ( F e. ( U. t ^m U. s ) /\ A. x e. t ( `' F " x ) e. s ) <-> ( F e. ( U. t ^m U. S ) /\ A. x e. t ( `' F " x ) e. S ) ) )
12		unieq 4444	. . . . . . 7 |- ( t = T -> U. t = U. T )
13	12	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( t = T -> ( U. t ^m U. S ) = ( U. T ^m U. S ) )
14	13	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( t = T -> ( F e. ( U. t ^m U. S ) <-> F e. ( U. T ^m U. S ) ) )
15		raleq 3138	. . . . 5 |- ( t = T -> ( A. x e. t ( `' F " x ) e. S <-> A. x e. T ( `' F " x ) e. S ) )
16	14, 15	anbi12d 747	. . . 4 |- ( t = T -> ( ( F e. ( U. t ^m U. S ) /\ A. x e. t ( `' F " x ) e. S ) <-> ( F e. ( U. T ^m U. S ) /\ A. x e. T ( `' F " x ) e. S ) ) )
17	11, 16	rspc2ev 3324	. . 3 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra /\ ( F e. ( U. T ^m U. S ) /\ A. x e. T ( `' F " x ) e. S ) ) -> E. s e. U. ran sigAlgebra E. t e. U. ran sigAlgebra ( F e. ( U. t ^m U. s ) /\ A. x e. t ( `' F " x ) e. s ) )
18	1, 2, 5, 17	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> E. s e. U. ran sigAlgebra E. t e. U. ran sigAlgebra ( F e. ( U. t ^m U. s ) /\ A. x e. t ( `' F " x ) e. s ) )
19		elunirnmbfm 30315	. 2 |- ( F e. U. ran MblFnM <-> E. s e. U. ran sigAlgebra E. t e. U. ran sigAlgebra ( F e. ( U. t ^m U. s ) /\ A. x e. t ( `' F " x ) e. s ) )
20	18, 19	sylibr 224	1 |- ( ph -> F e. U. ran MblFnM )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857  sigAlgebracsiga 30170  MblFnMcmbfm 30312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-mbfm 30313

This theorem is referenced by:  mbfmbfm  30320  orvcval4  30522