Theorem ismbfm 30314

Description: The predicate " F is a measurable function from the measurable space S to the measurable space T". Cf. ismbf 23397. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismbfm.1	|- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
ismbfm.2	|- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )

Assertion

Ref	Expression
ismbfm	|- ( ph -> ( F e. ( SMblFnM T ) <-> ( F e. ( U. T ^m U. S ) /\ A. x e. T ( `' F " x ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, S   x, T

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem ismbfm

Dummy variables f s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbfm.1	. . . 4 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
2		ismbfm.2	. . . 4 |- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
3		unieq 4444	. . . . . . 7 |- ( s = S -> U. s = U. S )
4	3	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( U. t ^m U. s ) = ( U. t ^m U. S ) )
5		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( ( `' f " x ) e. s <-> ( `' f " x ) e. S ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( A. x e. t ( `' f " x ) e. s <-> A. x e. t ( `' f " x ) e. S ) )
7	4, 6	rabeqbidv 3195	. . . . 5 |- ( s = S -> { f e. ( U. t ^m U. s ) | A. x e. t ( `' f " x ) e. s } = { f e. ( U. t ^m U. S ) | A. x e. t ( `' f " x ) e. S } )
8		unieq 4444	. . . . . . 7 |- ( t = T -> U. t = U. T )
9	8	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( t = T -> ( U. t ^m U. S ) = ( U. T ^m U. S ) )
10		raleq 3138	. . . . . 6 |- ( t = T -> ( A. x e. t ( `' f " x ) e. S <-> A. x e. T ( `' f " x ) e. S ) )
11	9, 10	rabeqbidv 3195	. . . . 5 |- ( t = T -> { f e. ( U. t ^m U. S ) | A. x e. t ( `' f " x ) e. S } = { f e. ( U. T ^m U. S ) | A. x e. T ( `' f " x ) e. S } )
12		df-mbfm 30313	. . . . 5 |- MblFnM = ( s e. U. ran sigAlgebra , t e. U. ran sigAlgebra |-> { f e. ( U. t ^m U. s ) | A. x e. t ( `' f " x ) e. s } )
13		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( U. T ^m U. S ) e. _V
14	13	rabex 4813	. . . . 5 |- { f e. ( U. T ^m U. S ) | A. x e. T ( `' f " x ) e. S } e. _V
15	7, 11, 12, 14	ovmpt2 6796	. . . 4 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( SMblFnM T ) = { f e. ( U. T ^m U. S ) | A. x e. T ( `' f " x ) e. S } )
16	1, 2, 15	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( SMblFnM T ) = { f e. ( U. T ^m U. S ) | A. x e. T ( `' f " x ) e. S } )
17	16	eleq2d 2687	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( SMblFnM T ) <-> F e. { f e. ( U. T ^m U. S ) | A. x e. T ( `' f " x ) e. S } ) )
18		cnveq 5296	. . . . . 6 |- ( f = F -> `' f = `' F )
19	18	imaeq1d 5465	. . . . 5 |- ( f = F -> ( `' f " x ) = ( `' F " x ) )
20	19	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( `' f " x ) e. S <-> ( `' F " x ) e. S ) )
21	20	ralbidv 2986	. . 3 |- ( f = F -> ( A. x e. T ( `' f " x ) e. S <-> A. x e. T ( `' F " x ) e. S ) )
22	21	elrab 3363	. 2 |- ( F e. { f e. ( U. T ^m U. S ) | A. x e. T ( `' f " x ) e. S } <-> ( F e. ( U. T ^m U. S ) /\ A. x e. T ( `' F " x ) e. S ) )
23	17, 22	syl6bb 276	1 |- ( ph -> ( F e. ( SMblFnM T ) <-> ( F e. ( U. T ^m U. S ) /\ A. x e. T ( `' F " x ) e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857  sigAlgebracsiga 30170  MblFnMcmbfm 30312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-mbfm 30313

This theorem is referenced by:  elunirnmbfm  30315  mbfmf  30317  isanmbfm  30318  mbfmcnvima  30319  mbfmcst  30321  1stmbfm  30322  2ndmbfm  30323  imambfm  30324  mbfmco  30326  elmbfmvol2  30329  mbfmcnt  30330  sibfof  30402  isrrvv  30505