Theorem elunirn 6509

Description: Membership in the union of the range of a function. See elunirnALT 6510 for a shorter proof which uses ax-pow 4843. (Contributed by NM, 24-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elunirn	|- ( Fun F -> ( A e. U. ran F <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem elunirn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 4439	. 2 |- ( A e. U. ran F <-> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) )
2		funfn 5918	. . . . . . . 8 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
3		fvelrnb 6243	. . . . . . . 8 |- ( F Fn dom F -> ( y e. ran F <-> E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
4	2, 3	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( y e. ran F <-> E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
5	4	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> ( A e. y /\ E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) ) )
6		r19.42v 3092	. . . . . 6 |- ( E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) <-> ( A e. y /\ E. x e. dom F ( F ` x ) = y ) )
7	5, 6	syl6bbr 278	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) ) )
8		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = y -> ( A e. ( F ` x ) <-> A e. y ) )
9	8	biimparc 504	. . . . . 6 |- ( ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) -> A e. ( F ` x ) )
10	9	reximi 3011	. . . . 5 |- ( E. x e. dom F ( A e. y /\ ( F ` x ) = y ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) )
11	7, 10	syl6bi 243	. . . 4 |- ( Fun F -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
12	11	exlimdv 1861	. . 3 |- ( Fun F -> ( E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) -> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
13		fvelrn 6352	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. ran F )
14	13	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( A e. ( F ` x ) -> ( F ` x ) e. ran F ) )
15	14	ancld 576	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( A e. ( F ` x ) -> ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) ) )
16		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( F ` x ) e. _V
17		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( A e. y <-> A e. ( F ` x ) ) )
18		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` x ) -> ( y e. ran F <-> ( F ` x ) e. ran F ) )
19	17, 18	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) ) )
20	16, 19	spcev 3300	. . . . 5 |- ( ( A e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ran F ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) )
21	15, 20	syl6 35	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( A e. ( F ` x ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
22	21	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( Fun F -> ( E. x e. dom F A e. ( F ` x ) -> E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) ) )
23	12, 22	impbid 202	. 2 |- ( Fun F -> ( E. y ( A e. y /\ y e. ran F ) <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )
24	1, 23	syl5bb 272	1 |- ( Fun F -> ( A e. U. ran F <-> E. x e. dom F A e. ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   U.cuni 4436   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  fnunirn  6511  fin23lem30  9164  ustn0  22024  elrnust  22028  ustbas  22031  metuval  22354  elunirn2  29451  metidval  29933  pstmval  29938  elunirnmbfm  30315  fourierdlem70  40393  fourierdlem71  40394  fourierdlem80  40403