Theorem eluz1 11691

Description: Membership in the upper set of integers starting at M. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz1	|- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )

Proof of Theorem eluz1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzval 11689	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) = { k e. ZZ | M <_ k } )
2	1	eleq2d 2687	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> N e. { k e. ZZ | M <_ k } ) )
3		breq2 4657	. . 3 |- ( k = N -> ( M <_ k <-> M <_ N ) )
4	3	elrab 3363	. 2 |- ( N e. { k e. ZZ | M <_ k } <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
5	2, 4	syl6bb 276	1 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   {crab 2916   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  eluz2  11693  eluz1i  11695  eluz  11701  uzid  11702  uzss  11708  eluzp1m1  11711  raluz  11736  rexuz  11738  preduz  12461  fi1uzind  13279  fi1uzindOLD  13285  algcvga  15292  uzssico  29546  nndiffz1  29548  fzspl  29550  breprexplemc  30710  lzunuz  37331