Theorem preduz 12461

Description: The value of the predecessor class over an upper integer set. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
preduz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> Pred ( < , ( ZZ>= ` M ) , N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem preduz

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . 6 |- x e. _V
2	1	elpred 5693	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. Pred ( < , ( ZZ>= ` M ) , N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ x < N ) ) )
3		eluzelz 11697	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
4		eluzelz 11697	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
5		zltlem1 11430	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( x < N <-> x <_ ( N - 1 ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x < N <-> x <_ ( N - 1 ) ) )
7	6	pm5.32da 673	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ x < N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) )
8		eluzel2 11692	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
9		eluz1 11691	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( x e. ZZ /\ M <_ x ) ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( x e. ZZ /\ M <_ x ) ) )
11	10	anbi1d 741	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) <-> ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) )
12	7, 11	bitrd 268	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ x < N ) <-> ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) )
13	2, 12	bitrd 268	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. Pred ( < , ( ZZ>= ` M ) , N ) <-> ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) )
14		peano2zm 11420	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
15	4, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
16	8, 15	jca 554	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) )
17	16	biantrurd 529	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) )
18	13, 17	bitrd 268	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. Pred ( < , ( ZZ>= ` M ) , N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) )
19		elfz2 12333	. . . 4 |- ( x e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) )
20		df-3an 1039	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ x e. ZZ ) )
21	20	anbi1i 731	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ x e. ZZ ) /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) )
22		anass 681	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ x e. ZZ ) /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) )
23		anass 681	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) <-> ( x e. ZZ /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) )
24	23	anbi2i 730	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) )
25	22, 24	bitr4i 267	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ x e. ZZ ) /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) )
26	19, 21, 25	3bitri 286	. . 3 |- ( x e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) )
27	18, 26	syl6bbr 278	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. Pred ( < , ( ZZ>= ` M ) , N ) <-> x e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
28	27	eqrdv 2620	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> Pred ( < , ( ZZ>= ` M ) , N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   Predcpred 5679   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  prednn  12462  prednn0  12463  uzsinds  12786