Theorem breprexplemc 30710

Description: Lemma for breprexp 30711 (induction step) (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
breprexp.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
breprexp.s	|- ( ph -> S e. NN0 )
breprexp.z	|- ( ph -> Z e. CC )
breprexp.h	|- ( ph -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
breprexplemc.t	|- ( ph -> T e. NN0 )
breprexplemc.s	|- ( ph -> ( T + 1 ) <_ S )
breprexplemc.1	|- ( ph -> prod_ a e. ( 0..^ T ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` a ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) )

Assertion

Ref	Expression
breprexplemc	|- ( ph -> prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` a ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) )

Distinct variable groups:   m, N   S, a, m   m, Z   m, L   T, a, b, d, m   Z, a, b, d   L, a, b, d   ph, a, b, d, m   N, a, b, d

Allowed substitution hints:   S( b, d)

Proof of Theorem breprexplemc

Dummy variables n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breprexplemc.t	. . . . 5 |- ( ph -> T e. NN0 )
2		nn0uz 11722	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
3	1, 2	syl6eleq 2711	. . . 4 |- ( ph -> T e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		fzosplitsn 12576	. . . 4 |- ( T e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0..^ ( T + 1 ) ) = ( ( 0..^ T ) u. { T } ) )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ ( T + 1 ) ) = ( ( 0..^ T ) u. { T } ) )
6	5	prodeq1d 14651	. 2 |- ( ph -> prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` a ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) = prod_ a e. ( ( 0..^ T ) u. { T } ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` a ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) )
7		nfv 1843	. . 3 |- F/ a ph
8		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ a sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) )
9		fzofi 12773	. . . 4 |- ( 0..^ T ) e. Fin
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ T ) e. Fin )
11		fzonel 12483	. . . 4 |- -. T e. ( 0..^ T )
12	11	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> -. T e. ( 0..^ T ) )
13		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
14		breprexp.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> N e. NN0 )
16		breprexp.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. NN0 )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> S e. NN0 )
18		breprexp.z	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. CC )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> Z e. CC )
20		breprexp.h	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
22	21	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
23	1	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T e. ZZ )
24	16	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. ZZ )
25	1	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. RR )
26		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
27	25, 26	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( T + 1 ) e. RR )
28	16	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. RR )
29	25	lep1d 10955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T <_ ( T + 1 ) )
30		breprexplemc.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( T + 1 ) <_ S )
31	25, 27, 28, 29, 30	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T <_ S )
32		eluz1 11691	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. ZZ -> ( S e. ( ZZ>= ` T ) <-> ( S e. ZZ /\ T <_ S ) ) )
33	32	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. ZZ /\ ( S e. ZZ /\ T <_ S ) ) -> S e. ( ZZ>= ` T ) )
34	23, 24, 31, 33	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. ( ZZ>= ` T ) )
35		fzoss2 12496	. . . . . . . . 9 |- ( S e. ( ZZ>= ` T ) -> ( 0..^ T ) C_ ( 0..^ S ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0..^ T ) C_ ( 0..^ S ) )
37	36	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> a e. ( 0..^ S ) )
38	37	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> a e. ( 0..^ S ) )
39		fz1ssnn 12372	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... N ) C_ NN
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
41	40	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. NN )
42	15, 17, 19, 22, 38, 41	breprexplemb 30709	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( L ` a ) ` b ) e. CC )
43		nnssnn0 11295	. . . . . . . . . . 11 |- NN C_ NN0
44	39, 43	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... N ) C_ NN0
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) C_ NN0 )
46	45	ralrimivw 2967	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. a e. ( 0..^ T ) ( 1 ... N ) C_ NN0 )
47	46	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN0 )
48	47	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. NN0 )
49	19, 48	expcld 13008	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( Z ^ b ) e. CC )
50	42, 49	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( L ` a ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) e. CC )
51	13, 50	fsumcl 14464	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` a ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) e. CC )
52		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( a = T /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> a = T )
53	52	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( a = T /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( L ` a ) = ( L ` T ) )
54	53	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( ( a = T /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( L ` a ) ` b ) = ( ( L ` T ) ` b ) )
55	54	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( a = T /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( L ` a ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) = ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) )
56	55	sumeq2dv 14433	. . 3 |- ( a = T -> sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` a ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) = sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) )
57		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
58	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> N e. NN0 )
59	16	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> S e. NN0 )
60	18	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> Z e. CC )
61	20	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
62	1	nn0ge0d 11354	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ T )
63		zltp1le 11427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( T < S <-> ( T + 1 ) <_ S ) )
64	23, 24, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T < S <-> ( T + 1 ) <_ S ) )
65	30, 64	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T < S )
66		0zd 11389	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
67		elfzo 12472	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( T e. ( 0..^ S ) <-> ( 0 <_ T /\ T < S ) ) )
68	23, 66, 24, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T e. ( 0..^ S ) <-> ( 0 <_ T /\ T < S ) ) )
69	62, 65, 68	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. ( 0..^ S ) )
70	69	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> T e. ( 0..^ S ) )
71	39	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... N ) C_ NN )
72	71	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. NN )
73	58, 59, 60, 61, 70, 72	breprexplemb 30709	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( L ` T ) ` b ) e. CC )
74	45	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. NN0 )
75	60, 74	expcld 13008	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( Z ^ b ) e. CC )
76	73, 75	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) e. CC )
77	57, 76	fsumcl 14464	. . 3 |- ( ph -> sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) e. CC )
78	7, 8, 10, 1, 12, 51, 56, 77	fprodsplitsn 14720	. 2 |- ( ph -> prod_ a e. ( ( 0..^ T ) u. { T } ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` a ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) = ( prod_ a e. ( 0..^ T ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` a ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) x. sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) )
79		breprexplemc.1	. . . 4 |- ( ph -> prod_ a e. ( 0..^ T ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` a ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) )
80	79	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( prod_ a e. ( 0..^ T ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` a ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) x. sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) x. sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) )
81		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... ( T x. N ) ) e. Fin )
82	39	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
83		fz0ssnn0 12435	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... ( T x. N ) ) C_ NN0
84		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) -> m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) )
85	83, 84	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) -> m e. NN0 )
86	85	nn0zd 11480	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) -> m e. ZZ )
87	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) -> T e. NN0 )
88	57	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
89	82, 86, 87, 88	reprfi 30694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) -> ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) e. Fin )
90	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( 0..^ T ) e. Fin )
91	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) -> N e. NN0 )
92	91	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> N e. NN0 )
93	16	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> S e. NN0 )
94	18	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> Z e. CC )
95	20	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
96	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( 0..^ T ) C_ ( 0..^ S ) )
97	96	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> a e. ( 0..^ S ) )
98	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
99	86	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> m e. ZZ )
100	87	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> T e. NN0 )
101		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) )
102	98, 99, 100, 101	reprf 30690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> d : ( 0..^ T ) --> ( 1 ... N ) )
103		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> a e. ( 0..^ T ) )
104	102, 103	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( d ` a ) e. ( 1 ... N ) )
105	39, 104	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( d ` a ) e. NN )
106	92, 93, 94, 95, 97, 105	breprexplemb 30709	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC )
107	90, 106	fprodcl 14682	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC )
108	18	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> Z e. CC )
109	85	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> m e. NN0 )
110	108, 109	expcld 13008	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( Z ^ m ) e. CC )
111	107, 110	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) e. CC )
112	89, 111	fsumcl 14464	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) e. CC )
113	81, 57, 112, 76	fsum2mul 14521	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) x. sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) )
114	39	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
115		fzssz 12343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) C_ ZZ
116		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) )
117	115, 116	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> m e. ZZ )
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> m e. ZZ )
119		fzssz 12343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... N ) C_ ZZ
120		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. ( 1 ... N ) )
121	119, 120	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. ZZ )
122	118, 121	zsubcld 11487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( m - b ) e. ZZ )
123	1	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> T e. NN0 )
124	123	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> T e. NN0 )
125	57	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
126	125	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
127	114, 122, 124, 126	reprfi 30694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) e. Fin )
128	73	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( L ` T ) ` b ) e. CC )
129	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> Z e. CC )
130		fz0ssnn0 12435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) C_ NN0
131	130, 116	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> m e. NN0 )
132	129, 131	expcld 13008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> ( Z ^ m ) e. CC )
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( Z ^ m ) e. CC )
134	128, 133	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) e. CC )
135	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) -> ( 0..^ T ) e. Fin )
136	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> N e. NN0 )
137	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> N e. NN0 )
138	137	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> N e. NN0 )
139	16	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> S e. NN0 )
140	129	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> Z e. CC )
141	20	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
142	37	ad5ant15 1303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> a e. ( 0..^ S ) )
143	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
144	122	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( m - b ) e. ZZ )
145	124	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> T e. NN0 )
146		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) )
147	143, 144, 145, 146	reprf 30690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> d : ( 0..^ T ) --> ( 1 ... N ) )
148		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> a e. ( 0..^ T ) )
149	147, 148	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( d ` a ) e. ( 1 ... N ) )
150	39, 149	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( d ` a ) e. NN )
151	138, 139, 140, 141, 142, 150	breprexplemb 30709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC )
152	135, 151	fprodcl 14682	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC )
153	127, 134, 152	fsummulc1 14517	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) ) = sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) ) )
154	153	sumeq2dv 14433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) ) = sum_ b e. ( 1 ... N ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) ) )
155		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) -> m <_ ( ( T + 1 ) x. N ) )
156	155	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> m <_ ( ( T + 1 ) x. N ) )
157	136	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) /\ y e. NN ) -> N e. NN0 )
158	16	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) /\ y e. NN ) -> S e. NN0 )
159	129	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) /\ y e. NN ) -> Z e. CC )
160	20	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) /\ y e. NN ) -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
161	23	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T + 1 ) e. ZZ )
162		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T + 1 ) e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( S e. ( ZZ>= ` ( T + 1 ) ) <-> ( T + 1 ) <_ S ) )
163	162	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T + 1 ) e. ZZ /\ S e. ZZ ) /\ ( T + 1 ) <_ S ) -> S e. ( ZZ>= ` ( T + 1 ) ) )
164	161, 24, 30, 163	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. ( ZZ>= ` ( T + 1 ) ) )
165		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. ( ZZ>= ` ( T + 1 ) ) -> ( 0..^ ( T + 1 ) ) C_ ( 0..^ S ) )
166	164, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0..^ ( T + 1 ) ) C_ ( 0..^ S ) )
167	166	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) /\ y e. NN ) -> ( 0..^ ( T + 1 ) ) C_ ( 0..^ S ) )
168		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) /\ y e. NN ) -> x e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) )
169	167, 168	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) /\ y e. NN ) -> x e. ( 0..^ S ) )
170		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) /\ y e. NN ) -> y e. NN )
171	157, 158, 159, 160, 169, 170	breprexplemb 30709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ x e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) /\ y e. NN ) -> ( ( L ` x ) ` y ) e. CC )
172	136, 123, 131, 156, 171	breprexplema 30708	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = sum_ b e. ( 1 ... N ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) )
173	172	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) = ( sum_ b e. ( 1 ... N ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) x. ( Z ^ m ) ) )
174	128	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) -> ( ( L ` T ) ` b ) e. CC )
175	152, 174	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) e. CC )
176	127, 175	fsumcl 14464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) e. CC )
177	125, 132, 176	fsummulc1 14517	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> ( sum_ b e. ( 1 ... N ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) x. ( Z ^ m ) ) = sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) x. ( Z ^ m ) ) )
178	127, 133, 175	fsummulc1 14517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) x. ( Z ^ m ) ) = sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) x. ( Z ^ m ) ) )
179	133	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) -> ( Z ^ m ) e. CC )
180	152, 174, 179	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ) -> ( ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) x. ( Z ^ m ) ) = ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) ) )
181	180	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) x. ( Z ^ m ) ) = sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) ) )
182	178, 181	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) x. ( Z ^ m ) ) = sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) ) )
183	182	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) x. ( Z ^ m ) ) = sum_ b e. ( 1 ... N ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) ) )
184	173, 177, 183	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) = sum_ b e. ( 1 ... N ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) ) )
185	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
186		1nn0 11308	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
187	186	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> 1 e. NN0 )
188	123, 187	nn0addcld 11355	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> ( T + 1 ) e. NN0 )
189	185, 117, 188, 125	reprfi 30694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) e. Fin )
190		fzofi 12773	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ ( T + 1 ) ) e. Fin
191	190	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) -> ( 0..^ ( T + 1 ) ) e. Fin )
192	136	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) -> N e. NN0 )
193	16	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) -> S e. NN0 )
194	129	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) -> Z e. CC )
195	20	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
196	166	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) -> ( 0..^ ( T + 1 ) ) C_ ( 0..^ S ) )
197	196	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) -> a e. ( 0..^ S ) )
198	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
199	117	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) -> m e. ZZ )
200	188	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) -> ( T + 1 ) e. NN0 )
201		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) -> d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) )
202	198, 199, 200, 201	reprf 30690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) -> d : ( 0..^ ( T + 1 ) ) --> ( 1 ... N ) )
203		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) -> a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) )
204	202, 203	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) -> ( d ` a ) e. ( 1 ... N ) )
205	39, 204	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) -> ( d ` a ) e. NN )
206	192, 193, 194, 195, 197, 205	breprexplemb 30709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ) -> ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC )
207	191, 206	fprodcl 14682	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC )
208	189, 132, 207	fsummulc1 14517	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) = sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) )
209	154, 184, 208	3eqtr2rd 2663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) = sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) ) )
210	209	sumeq2dv 14433	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) ) )
211		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( n - b ) = ( m - b ) )
212	211	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) = ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) )
213	212	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) )
214		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( Z ^ n ) = ( Z ^ m ) )
215	214	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ n ) ) = ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) )
216	213, 215	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ n ) ) ) = ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) ) )
217	216	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( n = m /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ n ) ) ) = ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) ) )
218	217	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( n = m -> sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ n ) ) ) = sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) ) )
219	218	cbvsumv 14426	. . . . 5 |- sum_ n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ n ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( m - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) )
220	210, 219	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ n ) ) ) )
221	1, 14	nn0mulcld 11356	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T x. N ) e. NN0 )
222		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( m = ( n - b ) -> ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) = ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) )
223	222	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( m = ( n - b ) -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) )
224		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( n - b ) -> ( m + b ) = ( ( n - b ) + b ) )
225	224	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( m = ( n - b ) -> ( Z ^ ( m + b ) ) = ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) )
226	225	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( m = ( n - b ) -> ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) = ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) )
227	223, 226	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( m = ( n - b ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) ) = ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) ) )
228	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
229		uzssz 11707	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` -u b ) C_ ZZ
230		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> m e. ( ZZ>= ` -u b ) )
231	229, 230	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> m e. ZZ )
232	1	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> T e. NN0 )
233	57	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
234	228, 231, 232, 233	reprfi 30694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) e. Fin )
235	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( 0..^ T ) e. Fin )
236	58	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> N e. NN0 )
237	236	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> N e. NN0 )
238	59	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> S e. NN0 )
239	238	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> S e. NN0 )
240	60	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> Z e. CC )
241	240	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> Z e. CC )
242	61	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
243	242	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> L : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
244	36	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0..^ T ) C_ ( 0..^ S ) )
245	244	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( 0..^ T ) C_ ( 0..^ S ) )
246	245	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> a e. ( 0..^ S ) )
247	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
248	231	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> m e. ZZ )
249	232	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> T e. NN0 )
250		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) )
251	247, 248, 249, 250	reprf 30690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> d : ( 0..^ T ) --> ( 1 ... N ) )
252	251	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> d : ( 0..^ T ) --> ( 1 ... N ) )
253		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> a e. ( 0..^ T ) )
254	252, 253	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( d ` a ) e. ( 1 ... N ) )
255	39, 254	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( d ` a ) e. NN )
256	237, 239, 241, 243, 246, 255	breprexplemb 30709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) /\ a e. ( 0..^ T ) ) -> ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC )
257	235, 256	fprodcl 14682	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC )
258	234, 257	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC )
259	70	3adant2 1080	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> T e. ( 0..^ S ) )
260	72	3adant2 1080	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. NN )
261	236, 238, 240, 242, 259, 260	breprexplemb 30709	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( L ` T ) ` b ) e. CC )
262	231	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> m e. CC )
263		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. ( 1 ... N ) )
264	119, 263	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. ZZ )
265	264	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. CC )
266	262, 265	subnegd 10399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( m - -u b ) = ( m + b ) )
267	264	znegcld 11484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> -u b e. ZZ )
268		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` -u b ) -> -u b <_ m )
269	230, 268	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> -u b <_ m )
270		znn0sub 11424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u b e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( -u b <_ m <-> ( m - -u b ) e. NN0 ) )
271	270	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u b e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ -u b <_ m ) -> ( m - -u b ) e. NN0 )
272	267, 231, 269, 271	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( m - -u b ) e. NN0 )
273	266, 272	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( m + b ) e. NN0 )
274	240, 273	expcld 13008	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( Z ^ ( m + b ) ) e. CC )
275	261, 274	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) e. CC )
276	258, 275	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` -u b ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) ) e. CC )
277	58	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> N e. NN0 )
278		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... N ) C_ ( 1 ... N )
279	278	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 1 ... N ) )
280		fzssz 12343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) C_ ZZ
281		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) )
282	280, 281	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> n e. ZZ )
283		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> b e. ( 1 ... N ) )
284	119, 283	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> b e. ZZ )
285	282, 284	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( n - b ) e. ZZ )
286	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> T e. NN0 )
287	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> T e. RR )
288	277	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> N e. RR )
289	287, 288	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( T x. N ) e. RR )
290	284	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> b e. RR )
291	221	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( T x. N ) e. NN0 )
292	291, 74	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( T x. N ) + b ) e. NN0 )
293	186	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> 1 e. NN0 )
294	292, 293	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) e. NN0 )
295		fz2ssnn0 29547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) e. NN0 -> ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) C_ NN0 )
296	294, 295	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) C_ NN0 )
297	296	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> n e. NN0 )
298	297	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> n e. RR )
299	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> T e. ZZ )
300	277	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> N e. ZZ )
301	299, 300	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( T x. N ) e. ZZ )
302	301, 284	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( ( T x. N ) + b ) e. ZZ )
303		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) -> ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) <_ n )
304	281, 303	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) <_ n )
305		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T x. N ) + b ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( T x. N ) + b ) < n <-> ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) <_ n ) )
306	305	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( T x. N ) + b ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) <_ n ) -> ( ( T x. N ) + b ) < n )
307	302, 282, 304, 306	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( ( T x. N ) + b ) < n )
308		ltaddsub 10502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T x. N ) e. RR /\ b e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( ( T x. N ) + b ) < n <-> ( T x. N ) < ( n - b ) ) )
309	308	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T x. N ) e. RR /\ b e. RR /\ n e. RR ) /\ ( ( T x. N ) + b ) < n ) -> ( T x. N ) < ( n - b ) )
310	289, 290, 298, 307, 309	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( T x. N ) < ( n - b ) )
311	277, 279, 285, 286, 310	reprgt 30699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) = (/) )
312	311	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = sum_ d e. (/) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) )
313		sum0 14452	. . . . . . . . 9 |- sum_ d e. (/) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = 0
314	312, 313	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = 0 )
315	314	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) ) = ( 0 x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) ) )
316	73	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( ( L ` T ) ` b ) e. CC )
317	60	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> Z e. CC )
318	282	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> n e. CC )
319	284	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> b e. CC )
320	318, 319	npcand 10396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( ( n - b ) + b ) = n )
321	320, 297	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( ( n - b ) + b ) e. NN0 )
322	317, 321	expcld 13008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) e. CC )
323	316, 322	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) e. CC )
324	323	mul02d 10234	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( 0 x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) ) = 0 )
325	315, 324	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( ( T x. N ) + b ) + 1 ) ... ( ( T x. N ) + N ) ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) ) = 0 )
326	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
327		fzossfz 12488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0..^ b ) C_ ( 0 ... b )
328		fzssz 12343	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... b ) C_ ZZ
329	327, 328	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0..^ b ) C_ ZZ
330		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> n e. ( 0..^ b ) )
331	329, 330	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> n e. ZZ )
332		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> b e. ( 1 ... N ) )
333	119, 332	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> b e. ZZ )
334	331, 333	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( n - b ) e. ZZ )
335	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> T e. NN0 )
336	334	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( n - b ) e. RR )
337		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> 0 e. RR )
338	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> T e. RR )
339		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 0..^ b ) -> n < b )
340	339	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> n < b )
341	331	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> n e. RR )
342	333	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> b e. RR )
343	341, 342	sublt0d 10653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( ( n - b ) < 0 <-> n < b ) )
344	340, 343	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( n - b ) < 0 )
345	62	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> 0 <_ T )
346	336, 337, 338, 344, 345	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( n - b ) < T )
347	326, 334, 335, 346	reprlt 30697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) = (/) )
348	347	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = sum_ d e. (/) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) )
349	348, 313	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = 0 )
350	349	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) ) = ( 0 x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) ) )
351	73	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( ( L ` T ) ` b ) e. CC )
352	60	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> Z e. CC )
353	341	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> n e. CC )
354	342	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> b e. CC )
355	353, 354	npcand 10396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( ( n - b ) + b ) = n )
356		fzo0ssnn0 12548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ b ) C_ NN0
357	356, 330	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> n e. NN0 )
358	355, 357	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( ( n - b ) + b ) e. NN0 )
359	352, 358	expcld 13008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) e. CC )
360	351, 359	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) e. CC )
361	360	mul02d 10234	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( 0 x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) ) = 0 )
362	350, 361	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ n e. ( 0..^ b ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) ) = 0 )
363	221, 14, 227, 276, 325, 362	fsum2dsub 30685	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( ( T x. N ) + N ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) ) )
364		nn0sscn 11297	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ CC
365	364, 1	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. CC )
366	364, 14	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. CC )
367	365, 366	adddirp1d 10066	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T + 1 ) x. N ) = ( ( T x. N ) + N ) )
368	367	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) = ( 0 ... ( ( T x. N ) + N ) ) )
369	130, 364	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) C_ CC
370		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) )
371	369, 370	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> n e. CC )
372	44, 364	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) C_ CC
373		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. ( 1 ... N ) )
374	372, 373	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. CC )
375	371, 374	npcand 10396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( n - b ) + b ) = n )
376	375	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> n = ( ( n - b ) + b ) )
377	376	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( Z ^ n ) = ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) )
378	377	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ n ) ) = ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) )
379	378	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ n ) ) ) = ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) ) )
380	379	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) ) -> sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ n ) ) ) = sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) ) )
381	368, 380	sumeq12dv 14437	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ n ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( ( T x. N ) + N ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( ( n - b ) + b ) ) ) ) )
382	363, 381	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) ( n - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ n ) ) ) )
383	107	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC )
384	110	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( Z ^ m ) e. CC )
385	76	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) e. CC )
386	385	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) e. CC )
387	383, 384, 386	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) = ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( Z ^ m ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) ) )
388	73	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( ( L ` T ) ` b ) e. CC )
389	75	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( Z ^ b ) e. CC )
390	384, 388, 389	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( ( ( Z ^ m ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) x. ( Z ^ b ) ) = ( ( Z ^ m ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) )
391	388, 384, 389	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) x. ( Z ^ b ) ) = ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( ( Z ^ m ) x. ( Z ^ b ) ) ) )
392	384, 388	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( ( Z ^ m ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) = ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) )
393	392	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( ( ( Z ^ m ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) x. ( Z ^ b ) ) = ( ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ m ) ) x. ( Z ^ b ) ) )
394	108	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> Z e. CC )
395	74	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> b e. NN0 )
396	109	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> m e. NN0 )
397	394, 395, 396	expaddd 13010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( Z ^ ( m + b ) ) = ( ( Z ^ m ) x. ( Z ^ b ) ) )
398	397	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) = ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( ( Z ^ m ) x. ( Z ^ b ) ) ) )
399	391, 393, 398	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( ( ( Z ^ m ) x. ( ( L ` T ) ` b ) ) x. ( Z ^ b ) ) = ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) )
400	390, 399	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( ( Z ^ m ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) = ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) )
401	400	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( Z ^ m ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) ) = ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) ) )
402	387, 401	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) = ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) ) )
403	402	sumeq2dv 14433	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) = sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) ) )
404	89	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) e. Fin )
405	111	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) e. CC )
406	404, 385, 405	fsummulc1 14517	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) = sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) )
407	73	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( L ` T ) ` b ) e. CC )
408	60	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> Z e. CC )
409	85	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> m e. NN0 )
410	74	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. NN0 )
411	409, 410	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( m + b ) e. NN0 )
412	408, 411	expcld 13008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( Z ^ ( m + b ) ) e. CC )
413	407, 412	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) e. CC )
414	404, 413, 383	fsummulc1 14517	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) ) = sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) ) )
415	403, 406, 414	3eqtr4rd 2667	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) ) = ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) )
416	415	sumeq2dv 14433	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) ) -> sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) ) = sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) )
417	416	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ ( m + b ) ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) )
418	220, 382, 417	3eqtr2rd 2663	. . 3 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( T x. N ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` T ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ T ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) x. ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) )
419	80, 113, 418	3eqtr2d 2662	. 2 |- ( ph -> ( prod_ a e. ( 0..^ T ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` a ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) x. sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` T ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) )
420	6, 78, 419	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) sum_ b e. ( 1 ... N ) ( ( ( L ` a ) ` b ) x. ( Z ^ b ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( ( T + 1 ) x. N ) ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( T + 1 ) ) m ) ( prod_ a e. ( 0..^ ( T + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( Z ^ m ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   sum_csu 14416   prod_cprod 14635  reprcrepr 30686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636  df-repr 30687

This theorem is referenced by:  breprexp  30711