Theorem fi1uzind 13279

Description: Properties of an ordered pair with a finite first component with at least L elements, proven by finite induction on the size of the first component. This theorem can be applied for graphs (represented as orderd pairs of vertices and edges) with a finite number of vertices, usually with L = 0 (see opfi1ind 13284) or L = 1. (Contributed by AV, 22-Oct-2020.) (Revised by AV, 28-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fi1uzind.f	|- F e. _V
fi1uzind.l	|- L e. NN0
fi1uzind.1	|- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ps <-> ph ) )
fi1uzind.2	|- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( ps <-> th ) )
fi1uzind.3	|- ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n e. v ) -> [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh )
fi1uzind.4	|- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( th <-> ch ) )
fi1uzind.base	|- ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( # ` v ) = L ) -> ps )
fi1uzind.step	|- ( ( ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) /\ n e. v ) ) /\ ch ) -> ps )

Assertion

Ref	Expression
fi1uzind	|- ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ V e. Fin /\ L <_ ( # ` V ) ) -> ph )

Distinct variable groups:   a, b, e, n, v, y, f, w   E, a, e, n, v   F, a, f, w   e, L, n, v, y   V, a, b, e, n, v   ps, f, n, w, y   th, e, n, v   ch, f, w   ph, e, n, v   rh, e, f, n, v, w, y

Allowed substitution hints:   ph( y, w, f, a, b)   ps( v, e, a, b)   ch( y, v, e, n, a, b)   th( y, w, f, a, b)   rh( a, b)   E( y, w, f, b)   F( y, v, e, n, b)   L( w, f, a, b)   V( y, w, f)

Proof of Theorem fi1uzind

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-clel 2618	. . . 4 |- ( ( # ` V ) e. NN0 <-> E. n ( n = ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) )
2		fi1uzind.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- L e. NN0
3		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
4	2, 3	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L <_ ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) /\ n = ( # ` V ) ) -> L e. ZZ )
5		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
6	5	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L <_ ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) /\ n = ( # ` V ) ) -> n e. ZZ )
7		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` V ) = n -> ( L <_ ( # ` V ) <-> L <_ n ) )
8	7	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( # ` V ) -> ( L <_ ( # ` V ) <-> L <_ n ) )
9	8	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L <_ ( # ` V ) -> ( n = ( # ` V ) -> L <_ n ) )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L <_ ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) -> ( n = ( # ` V ) -> L <_ n ) )
11	10	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L <_ ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) /\ n = ( # ` V ) ) -> L <_ n )
12		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = L -> ( x = ( # ` v ) <-> L = ( # ` v ) ) )
13	12	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = L -> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) <-> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ L = ( # ` v ) ) ) )
14	13	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = L -> ( ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ L = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )
15	14	2albidv 1851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = L -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ L = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )
16		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( x = ( # ` v ) <-> y = ( # ` v ) ) )
17	16	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) <-> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ y = ( # ` v ) ) ) )
18	17	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ y = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )
19	18	2albidv 1851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ y = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )
20		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x = ( # ` v ) <-> ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) )
21	20	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) <-> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) )
22	21	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )
23	22	2albidv 1851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )
24		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = n -> ( x = ( # ` v ) <-> n = ( # ` v ) ) )
25	24	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = n -> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) <-> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) ) )
26	25	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = n -> ( ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )
27	26	2albidv 1851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = n -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ x = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )
28		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( L = ( # ` v ) <-> ( # ` v ) = L )
29		fi1uzind.base	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( # ` v ) = L ) -> ps )
30	28, 29	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ L = ( # ` v ) ) -> ps )
31	30	gen2 1723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ L = ( # ` v ) ) -> ps )
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. ZZ -> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ L = ( # ` v ) ) -> ps ) )
33		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v = w /\ e = f ) -> v = w )
34		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v = w /\ e = f ) -> e = f )
35	34	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( [. e / b ]. rh <-> [. f / b ]. rh ) )
36	33, 35	sbceqbid 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh <-> [. w / a ]. [. f / b ]. rh ) )
37		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = w -> ( # ` v ) = ( # ` w ) )
38	37	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = w -> ( y = ( # ` v ) <-> y = ( # ` w ) ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( y = ( # ` v ) <-> y = ( # ` w ) ) )
40	36, 39	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ y = ( # ` v ) ) <-> ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) ) )
41		fi1uzind.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( ps <-> th ) )
42	40, 41	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ y = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) ) )
43	42	cbval2v 2285	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ y = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) )
44		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( L e. NN0 -> 0 <_ L )
45		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y e. ZZ -> 0 e. RR )
46		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
47	2, 46	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y e. ZZ -> L e. RR )
48		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
49		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 0 e. RR /\ L e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( 0 <_ L /\ L <_ y ) -> 0 <_ y ) )
50	45, 47, 48, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. ZZ -> ( ( 0 <_ L /\ L <_ y ) -> 0 <_ y ) )
51		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 0 e. NN0
52		pm3.22 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( 0 <_ y /\ y e. ZZ ) -> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) )
53		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- 0 e. ZZ
54		eluz1 11691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( 0 e. ZZ -> ( y e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) ) )
55	53, 54	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( 0 <_ y /\ y e. ZZ ) -> ( y e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y ) ) )
56	52, 55	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( 0 <_ y /\ y e. ZZ ) -> y e. ( ZZ>= ` 0 ) )
57		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( 0 e. NN0 /\ y e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> y e. NN0 )
58	51, 56, 57	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 0 <_ y /\ y e. ZZ ) -> y e. NN0 )
59	58	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 0 <_ y -> ( y e. ZZ -> y e. NN0 ) )
60	50, 59	syl6com 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 0 <_ L /\ L <_ y ) -> ( y e. ZZ -> ( y e. ZZ -> y e. NN0 ) ) )
61	60	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 0 <_ L -> ( L <_ y -> ( y e. ZZ -> ( y e. ZZ -> y e. NN0 ) ) ) )
62	61	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. ZZ -> ( L <_ y -> ( y e. ZZ -> ( 0 <_ L -> y e. NN0 ) ) ) )
63	62	pm2.43a 54	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. ZZ -> ( L <_ y -> ( 0 <_ L -> y e. NN0 ) ) )
64	63	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. ZZ /\ L <_ y ) -> ( 0 <_ L -> y e. NN0 ) )
65	64	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 <_ L -> ( ( y e. ZZ /\ L <_ y ) -> y e. NN0 ) )
66	2, 44, 65	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. ZZ /\ L <_ y ) -> y e. NN0 )
67	66	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L e. ZZ /\ y e. ZZ /\ L <_ y ) -> y e. NN0 )
68		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) <-> ( # ` v ) = ( y + 1 ) )
69		nn0p1gt0 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. NN0 -> 0 < ( y + 1 ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. NN0 /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> 0 < ( y + 1 ) )
71		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. NN0 /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ( # ` v ) = ( y + 1 ) )
72	70, 71	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. NN0 /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> 0 < ( # ` v ) )
73	68, 72	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. NN0 /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> 0 < ( # ` v ) )
74	73	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) -> 0 < ( # ` v ) )
75		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- v e. _V
76		hashgt0elex 13189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( v e. _V /\ 0 < ( # ` v ) ) -> E. n n e. v )
77		fi1uzind.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n e. v ) -> [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh )
78	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> v e. _V )
79		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> n e. v )
80		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> y e. NN0 )
81		brfi1indlem 13278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( v e. _V /\ n e. v /\ y e. NN0 ) -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )
82	68, 81	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( v e. _V /\ n e. v /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )
83	78, 79, 80, 82	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )
84	83	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y )
85		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( y e. NN0 -> ( y + 1 ) e. NN0 )
86	85	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ( y + 1 ) e. NN0 )
87	86	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> ( y + 1 ) e. NN0 )
88		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> [. v / a ]. [. e / b ]. rh )
89		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> ( y + 1 ) = ( # ` v ) )
90		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) -> n e. v )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> n e. v )
92	88, 89, 91	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) /\ n e. v ) )
93	87, 92	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) /\ n e. v ) ) )
94		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( v e. _V -> ( v \ { n } ) e. _V )
95	75, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( v \ { n } ) e. _V
96		fi1uzind.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- F e. _V
97		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> w = ( v \ { n } ) )
98		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> f = F )
99	98	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( [. f / b ]. rh <-> [. F / b ]. rh ) )
100	97, 99	sbceqbid 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh <-> [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) )
101		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( y = ( # ` w ) <-> ( # ` w ) = y )
102		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 |- ( w = ( v \ { n } ) -> ( # ` w ) = ( # ` ( v \ { n } ) ) )
103	102	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( w = ( v \ { n } ) -> ( ( # ` w ) = y <-> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )
104	101, 103	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( w = ( v \ { n } ) -> ( y = ( # ` w ) <-> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( y = ( # ` w ) <-> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )
106	100, 105	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) <-> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh /\ ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) ) )
107		fi1uzind.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( th <-> ch ) )
108	106, 107	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) <-> ( ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh /\ ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) -> ch ) ) )
109	108	spc2gv 3296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ( v \ { n } ) e. _V /\ F e. _V ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ( ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh /\ ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) -> ch ) ) )
110	95, 96, 109	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ( ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh /\ ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) -> ch ) )
111	110	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) -> ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ch ) )
112	111	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ch ) )
113	68	3anbi2i 1254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) /\ n e. v ) <-> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) /\ n e. v ) )
114	113	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) /\ n e. v ) ) <-> ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) /\ n e. v ) ) )
115		fi1uzind.step	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) /\ n e. v ) ) /\ ch ) -> ps )
116	114, 115	sylanb 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) /\ n e. v ) ) /\ ch ) -> ps )
117	93, 112, 116	syl6an 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) /\ [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) /\ [. v / a ]. [. e / b ]. rh ) -> ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ps ) )
118	117	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ps ) ) ) ) )
119	118	com15 101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
120	119	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
121	84, 120	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) )
122	121	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
123	122	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
124	123	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( y e. NN0 -> ( n e. v -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) ) )
125	124	com15 101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( n e. v -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) ) )
126	125	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n e. v ) -> ( [. ( v \ { n } ) / a ]. [. F / b ]. rh -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
127	77, 126	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n e. v ) -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) )
128	127	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( n e. v -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
129	128	com4l 92	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. v -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
130	129	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( E. n n e. v -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
131	76, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( v e. _V /\ 0 < ( # ` v ) ) -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
132	131	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v e. _V -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) ) )
133	132	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v e. _V -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) ) )
134	75, 133	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh -> ( ( y + 1 ) = ( # ` v ) -> ( y e. NN0 -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
135	134	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ( y e. NN0 -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) ) )
136	135	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) ) )
137	74, 136	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. NN0 /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) )
138	67, 137	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( L e. ZZ /\ y e. ZZ /\ L <_ y ) /\ ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> ps ) )
139	138	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. ZZ /\ y e. ZZ /\ L <_ y ) /\ A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) ) -> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ps ) )
140	139	alrimivv 1856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( L e. ZZ /\ y e. ZZ /\ L <_ y ) /\ A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) ) -> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ps ) )
141	140	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. ZZ /\ y e. ZZ /\ L <_ y ) -> ( A. w A. f ( ( [. w / a ]. [. f / b ]. rh /\ y = ( # ` w ) ) -> th ) -> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )
142	43, 141	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ y e. ZZ /\ L <_ y ) -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ y = ( # ` v ) ) -> ps ) -> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ ( y + 1 ) = ( # ` v ) ) -> ps ) ) )
143	15, 19, 23, 27, 32, 142	uzind 11469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ n e. ZZ /\ L <_ n ) -> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) )
144	4, 6, 11, 143	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L <_ ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) /\ n = ( # ` V ) ) -> A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) )
145		sbcex 3445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> V e. _V )
146		sbccom 3509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh <-> [. E / b ]. [. V / a ]. rh )
147		sbcex 3445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. E / b ]. [. V / a ]. rh -> E e. _V )
148	146, 147	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> E e. _V )
149	145, 148	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
150		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> v = V )
151		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> e = E )
152	151	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( [. e / b ]. rh <-> [. E / b ]. rh ) )
153	150, 152	sbceqbid 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh <-> [. V / a ]. [. E / b ]. rh ) )
154		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = V -> ( # ` v ) = ( # ` V ) )
155	154	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = V -> ( n = ( # ` v ) <-> n = ( # ` V ) ) )
156	155	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( n = ( # ` v ) <-> n = ( # ` V ) ) )
157	153, 156	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) <-> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) ) )
158		fi1uzind.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ps <-> ph ) )
159	157, 158	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) <-> ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) -> ph ) ) )
160	159	spc2gv 3296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) -> ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) -> ph ) ) )
161	160	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) -> ph ) ) )
162	161	expd 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( n = ( # ` V ) -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) -> ph ) ) ) )
163	149, 162	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( n = ( # ` V ) -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) -> ph ) ) )
164	163	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) -> ( A. v A. e ( ( [. v / a ]. [. e / b ]. rh /\ n = ( # ` v ) ) -> ps ) -> ph ) )
165	144, 164	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L <_ ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) /\ n = ( # ` V ) ) -> ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) -> ph ) )
166	165	exp31 630	. . . . . . . . . 10 |- ( L <_ ( # ` V ) -> ( n e. NN0 -> ( n = ( # ` V ) -> ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) -> ph ) ) ) )
167	166	com14 96	. . . . . . . . 9 |- ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ n = ( # ` V ) ) -> ( n e. NN0 -> ( n = ( # ` V ) -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) ) )
168	167	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( n = ( # ` V ) -> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( n e. NN0 -> ( n = ( # ` V ) -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) ) ) )
169	168	com24 95	. . . . . . 7 |- ( n = ( # ` V ) -> ( n = ( # ` V ) -> ( n e. NN0 -> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) ) ) )
170	169	pm2.43i 52	. . . . . 6 |- ( n = ( # ` V ) -> ( n e. NN0 -> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) ) )
171	170	imp 445	. . . . 5 |- ( ( n = ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) -> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) )
172	171	exlimiv 1858	. . . 4 |- ( E. n ( n = ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) -> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) )
173	1, 172	sylbi 207	. . 3 |- ( ( # ` V ) e. NN0 -> ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) )
174		hashcl 13147	. . 3 |- ( V e. Fin -> ( # ` V ) e. NN0 )
175	173, 174	syl11 33	. 2 |- ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh -> ( V e. Fin -> ( L <_ ( # ` V ) -> ph ) ) )
176	175	3imp 1256	1 |- ( ( [. V / a ]. [. E / b ]. rh /\ V e. Fin /\ L <_ ( # ` V ) ) -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  brfi1uzind  13280  opfi1uzind  13283