Theorem algcvga 15292

Description: The countdown function C remains 0 after N steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
algcvga.1	|- F : S --> S
algcvga.2	|- R = seq 0 ( ( F o. 1st ) , ( NN0 X. { A } ) )
algcvga.3	|- C : S --> NN0
algcvga.4	|- ( z e. S -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) )
algcvga.5	|- N = ( C ` A )

Assertion

Ref	Expression
algcvga	|- ( A e. S -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )

Distinct variable groups:   z, C   z, F   z, R   z, S

Allowed substitution hints:   A( z)   K( z)   N( z)

Proof of Theorem algcvga

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algcvga.5	. . 3 |- N = ( C ` A )
2		algcvga.3	. . . 4 |- C : S --> NN0
3	2	ffvelrni 6358	. . 3 |- ( A e. S -> ( C ` A ) e. NN0 )
4	1, 3	syl5eqel 2705	. 2 |- ( A e. S -> N e. NN0 )
5		nn0z 11400	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
6		eluz1 11691	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( K e. ZZ /\ N <_ K ) ) )
7		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( R ` m ) = ( R ` N ) )
8	7	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` N ) ) )
9	8	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) )
10	9	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) ) )
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( R ` m ) = ( R ` k ) )
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` k ) ) )
13	12	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) )
14	13	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( R ` m ) = ( R ` ( k + 1 ) ) )
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) )
17	16	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) )
18	17	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( m = K -> ( R ` m ) = ( R ` K ) )
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( m = K -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` K ) ) )
21	20	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( m = K -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )
22	21	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( m = K -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
23		algcvga.1	. . . . . . . . 9 |- F : S --> S
24		algcvga.2	. . . . . . . . 9 |- R = seq 0 ( ( F o. 1st ) , ( NN0 X. { A } ) )
25		algcvga.4	. . . . . . . . 9 |- ( z e. S -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) )
26	23, 24, 2, 25, 1	algcvg 15289	. . . . . . . 8 |- ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 )
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) )
28		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> 0 <_ N )
30		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
31		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
32		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
33		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
34	32, 33	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
35	30, 31, 34	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
36	29, 35	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> 0 <_ k ) )
37		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 <-> ( k e. ZZ /\ 0 <_ k ) )
38	37	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( 0 <_ k -> k e. NN0 ) )
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( 0 <_ k -> k e. NN0 ) )
40	36, 39	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> k e. NN0 ) )
41	4, 40	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. S /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> k e. NN0 ) )
42	41	impr 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. S /\ ( k e. ZZ /\ N <_ k ) ) -> k e. NN0 )
43	42	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> k e. NN0 ) )
44	43	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> k e. NN0 ) )
45	44	ancld 576	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> ( A e. S /\ k e. NN0 ) ) )
46		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
47		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> 0 e. ZZ )
48		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> A e. S )
49	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> F : S --> S )
50	46, 24, 47, 48, 49	algrf 15286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. S -> R : NN0 --> S )
51	50	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( R ` k ) e. S )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( R ` k ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( R ` k ) ) )
53	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( R ` k ) -> ( C ` ( F ` z ) ) = ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) )
54	53	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 ) )
55		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( R ` k ) -> ( C ` z ) = ( C ` ( R ` k ) ) )
56	53, 55	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) )
57	54, 56	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) <-> ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) ) )
58	57, 25	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) )
59	23, 2	algcvgb 15291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) <-> ( ( ( C ` ( R ` k ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) /\ ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) ) )
60		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C ` ( R ` k ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) /\ ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
61	59, 60	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) )
62	58, 61	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
63	51, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
64	46, 24, 47, 48, 49	algrp1 15287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( R ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( R ` k ) ) )
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) )
66	65	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
67	63, 66	sylibrd 249	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) )
68	45, 67	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
69	68	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
70	10, 14, 18, 22, 27, 69	uzind 11469	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N <_ K ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )
71	70	3expib 1268	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ZZ /\ N <_ K ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
72	6, 71	sylbid 230	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
73	5, 72	syl 17	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
74	73	com3r 87	. 2 |- ( A e. S -> ( N e. NN0 -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
75	4, 74	mpd 15	1 |- ( A e. S -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  algfx  15293  eucalgcvga  15299